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介绍

em算法是一种迭代算法，用于含有隐变量的参数模型的最大似然估计或极大后验概率估计。EM算法，作为一个框架思想，它可以应用在很多领域，比如说数据聚类领域----模糊聚类的处理，待会儿也会给出一个这样的实现例子。

EM算法原理

EM算法从名称上就能看出他可以被分成2个部分，E-Step和M-Step。E-Step叫做期望化步骤，M-Step为最大化步骤。

整体算法的步骤如下所示：

1、初始化分布参数。

2、(E-Step)计算期望E，利用对隐藏变量的现有估计值，计算其最大似然估计值，以此实现期望化的过程。

3、(M-Step)最大化在E-步骤上的最大似然估计值来计算参数的值

4、重复2,3步骤直到收敛。

以上就是EM算法的核心原理，也许您会想，真的这么简单，其实事实是我省略了其中复杂的数据推导的过程，因为如果不理解EM的算法原理，去看其中的数据公式的推导，会让人更加晕的。好，下面给出数据的推导过程，本人数学也不好，于是用了别人的推导过程，人家已经写得非常详细了。

EM算法的推导过程

jensen不等式

在介绍推导过程的时候，需要明白jensen不等式，他是一个关于凸函数的一个定理，直接上公式定义;

如果f是凸函数，X是随机变量，那么

      特别地，如果f是严格凸函数，那么当且仅当，也就是说X是常量。

      这里我们将简写为。

      如果用图表示会很清晰：

EM算法的公式表达形式

EM算法转化为公式的表达形式为：

      给定的训练样本是，样例间独立，我们想找到每个样例隐含的类别z，能使得p(x,z)最大。p(x,z)的最大似然估计如下：

可以由前面阐述的内容得到下面的公式：

      （1）到（2）比较直接，就是分子分母同乘以一个相等的函数。（2）到（3）利用了Jensen不等式。对于每一个样例i，让表示该样例隐含变量z的某种分布，满足的条件是。于是就来到了问题的关键，通过上面的不等式，我们就可以确定式子的下界，然后我们就可以不断的提高此下界达到逼近最后真实值的目的值，那么什么时候达到想到的时候呢，没错，就是这个不等式变成等式的时候，然后再依据之前描述的jensen不等式的说明，当不等式变为等式的时候，当且仅当，也就是说X是常量，推出就是下面的公式：

     再推导下，由于（因为Q是随机变量z⁽ⁱ⁾的概率密度函数），则可以得到：分子的和等于c（分子分母都对所有z⁽ⁱ⁾求和：多个等式分子分母相加不变，这个认为每个样例的两个概率比值都是c），再次继续推导;

循环重复直到收敛

      （E步）对于每一个i，计算

      （M步）计算

EM算法的模糊聚类实现

在这里我会给出一个自己实现的基于EM算法的计算模糊聚类。

输入测试的数据文件，里面包含了a-f 7个点坐标：

3 3
4 10
9 6
14 8
18 11
21 7

1、E-Step:期望步根据当前的的模糊聚类或概率簇的参数，把对象指派到簇中。

2、M-Step:最大化步发现新的聚类或参数，最小化模糊聚类的SSE(对象的误差平方和，这个在程序中会有所体现)。在M步中会用到这个公式，根据划分矩阵重新调整计算簇的中心。

最后的收敛条件为，计算出的簇中心点的坐标的横纵坐标轴的误差和不超过1.0，意味着基本不再变化了。
主程序类：

package DataMining_EM;

import java.io.BufferedReader;
import java.io.File;
import java.io.FileReader;
import java.io.IOException;
import java.text.MessageFormat;
import java.util.ArrayList;

/**
 * EM最大期望算法工具类
 * 
 * @author lyq
 * 
 */
public class EMTool {
	// 测试数据文件地址
	private String dataFilePath;
	// 测试坐标点数据
	private String[][] data;
	// 测试坐标点数据列表
	private ArrayList<Point> pointArray;
	// 目标C1点
	private Point p1;
	// 目标C2点
	private Point p2;

	public EMTool(String dataFilePath) {
		this.dataFilePath = dataFilePath;
		pointArray = new ArrayList<>();
	}

	/**
	 * 从文件中读取数据
	 */
	public void readDataFile() {
		File file = new File(dataFilePath);
		ArrayList<String[]> dataArray = new ArrayList<String[]>();

		try {
			BufferedReader in = new BufferedReader(new FileReader(file));
			String str;
			String[] tempArray;
			while ((str = in.readLine()) != null) {
				tempArray = str.split(" ");
				dataArray.add(tempArray);
			}
			in.close();
		} catch (IOException e) {
			e.getStackTrace();
		}

		data = new String[dataArray.size()][];
		dataArray.toArray(data);

		// 开始时默认取头2个点作为2个簇中心
		p1 = new Point(Integer.parseInt(data[0][0]),
				Integer.parseInt(data[0][1]));
		p2 = new Point(Integer.parseInt(data[1][0]),
				Integer.parseInt(data[1][1]));

		Point p;
		for (String[] array : data) {
			// 将数据转换为对象加入列表方便计算
			p = new Point(Integer.parseInt(array[0]),
					Integer.parseInt(array[1]));
			pointArray.add(p);
		}
	}

	/**
	 * 计算坐标点对于2个簇中心点的隶属度
	 * 
	 * @param p
	 *            待测试坐标点
	 */
	private void computeMemberShip(Point p) {
		// p点距离第一个簇中心点的距离
		double distance1 = 0;
		// p距离第二个中心点的距离
		double distance2 = 0;

		// 用欧式距离计算
		distance1 = Math.pow(p.getX() - p1.getX(), 2)
				+ Math.pow(p.getY() - p1.getY(), 2);
		distance2 = Math.pow(p.getX() - p2.getX(), 2)
				+ Math.pow(p.getY() - p2.getY(), 2);

		// 计算对于p1点的隶属度，与距离成反比关系，距离靠近越小，隶属度越大，所以要用大的distance2另外的距离来表示
		p.setMemberShip1(distance2 / (distance1 + distance2));
		// 计算对于p2点的隶属度
		p.setMemberShip2(distance1 / (distance1 + distance2));
	}

	/**
	 * 执行期望最大化步骤
	 */
	public void exceptMaxStep() {
		// 新的优化过的簇中心点
		double p1X = 0;
		double p1Y = 0;
		double p2X = 0;
		double p2Y = 0;
		double temp1 = 0;
		double temp2 = 0;
		// 误差值
		double errorValue1 = 0;
		double errorValue2 = 0;
		// 上次更新的簇点坐标
		Point lastP1 = null;
		Point lastP2 = null;

		// 当开始计算的时候，或是中心点的误差值超过1的时候都需要再次迭代计算
		while (lastP1 == null || errorValue1 > 1.0 || errorValue2 > 1.0) {
			for (Point p : pointArray) {
				computeMemberShip(p);
				p1X += p.getMemberShip1() * p.getMemberShip1() * p.getX();
				p1Y += p.getMemberShip1() * p.getMemberShip1() * p.getY();
				temp1 += p.getMemberShip1() * p.getMemberShip1();

				p2X += p.getMemberShip2() * p.getMemberShip2() * p.getX();
				p2Y += p.getMemberShip2() * p.getMemberShip2() * p.getY();
				temp2 += p.getMemberShip2() * p.getMemberShip2();
			}

			lastP1 = new Point(p1.getX(), p1.getY());
			lastP2 = new Point(p2.getX(), p2.getY());

			// 套公式计算新的簇中心点坐标,最最大化处理
			p1.setX(p1X / temp1);
			p1.setY(p1Y / temp1);
			p2.setX(p2X / temp2);
			p2.setY(p2Y / temp2);

			errorValue1 = Math.abs(lastP1.getX() - p1.getX())
					+ Math.abs(lastP1.getY() - p1.getY());
			errorValue2 = Math.abs(lastP2.getX() - p2.getX())
					+ Math.abs(lastP2.getY() - p2.getY());
		}

		System.out.println(MessageFormat.format(
				"簇中心节点p1({0}, {1}), p2({2}, {3})", p1.getX(), p1.getY(),
				p2.getX(), p2.getY()));
	}

}

/**
 * 坐标点类
 * 
 * @author lyq
 * 
 */
public class Point {
	// 坐标点横坐标
	private double x;
	// 坐标点纵坐标
	private double y;
	// 坐标点对于P1的隶属度
	private double memberShip1;
	// 坐标点对于P2的隶属度
	private double memberShip2;

	public Point(double d, double e) {
		this.x = d;
		this.y = e;
	}

	public double getX() {
		return x;
	}

	public void setX(double x) {
		this.x = x;
	}

	public double getY() {
		return y;
	}

	public void setY(double y) {
		this.y = y;
	}

	public double getMemberShip1() {
		return memberShip1;
	}

	public void setMemberShip1(double memberShip1) {
		this.memberShip1 = memberShip1;
	}

	public double getMemberShip2() {
		return memberShip2;
	}

	public void setMemberShip2(double memberShip2) {
		this.memberShip2 = memberShip2;
	}

}

/**
 * EM期望最大化算法场景调用类
 * @author lyq
 *
 */
public class Client {
	public static void main(String[] args){
		String filePath = "C:\\Users\\lyq\\Desktop\\icon\\input.txt";
		
		EMTool tool = new EMTool(filePath);
		tool.readDataFile();
		tool.exceptMaxStep();
	}
}

簇中心节点p1(7.608, 5.907), p2(14.208, 8.745)

EM最大期望算法

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原文地址：http://blog.csdn.net/androidlushangderen/article/details/42921789