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在三维空间中，两个向量的乘积（向量积，外积，乘积，区别于两个向量的数乘：内积，点积）表示两个向量的扭矩，而三个向量的混合积A×B·C，则表示由三个向量A,B,C所构成的平行六面体的面积。而且在混合积中A,B,C的位置是可以互换的（这个很容易证明），这也符合我们的经验。那么问题来了？
1）3个或者N>3个三维向量相乘如何定义？A×B×C×D....因为A×B是有定义的，A×B是向量，那么只要继续乘就可以了，这也说明3维向量相乘，向量个数不是问题；
2）向量个数不是问题，那4维向量的两个向量相乘呢？
设A=(a1,a2,a3,a4),B=(b1,b2,b3,b4) A*B=(x1,x2,x3,x4)则满足如下方程组：
① A·(A*B)=0
② B·(A*B)=0
③ |A*B|=|A|*|B|sinθ。
这是一个4元二次方程组，但只有3个方程组，显然解不是一个。这说明A*B在4维空间，如果按垂直来定义，无法唯一确定，其结果是一个面。
类似的，扩展到n维空间，方程组还是只有3个。结果是n-2维体（面）。
下面推广n维向量的
n-1个向量积：A1*A2*...A(n-1)·；
混合积:A1*A2*...A(n-1)·An.
/// <summary>
/// 向量积
/// </summary>
/// <param name="A"></param>
/// <param name="B"></param>
/// <returns></returns>
public static TVector Mul(TVector A, TVector B)
{
if (A.Count == B.Count && B.Count == 3)
{
var theI = A[1] * B[2] - A[2] * B[1];
var theJ = -(A[0] * B[2] - A[2] * B[0]);
var theK = A[0] * B[1] - A[1] * B[0];
TVector theV = new TVector(theI, theJ, theK);
return theV;
}
else
{
throw new Exception("现仅支持3分量.");
}
}
/// <summary>
/// n维向量的n-1个向量的乘积，n>3
/// </summary>
/// <param name="Vectors">向量组</param>
/// <returns></returns>
public static TVector Mul2(params TVector[] Vectors)
{
if (Vectors==null || Vectors.Length < 2)
{
throw new Exception("参数错误必须是n维向量n-1个向量模式");
}
var theN = Vectors[0].Count;
if (theN != Vectors.Length + 1)
{
throw new Exception("参数错误必须是n维向量n-1个向量模式");
}
var theA = new double[theN, theN];
for (int i = 0; i < theN; i++)
{
theA[0, i] = 1;
}
for (int i = 0; i < theN; i++)
{
for (int j = 0; j < Vectors.Length; j++)
{
theA[j + 1, i] = Vectors[j][i];
}
}
//按第一行展开求代数余子式，并计算行列式.(1,j)的代数余子式就是所求向量第j个分量的值.
var theRetA = new double[theN];
for (int j = 0; j < theN; j++)
{
var theA1 = LinearAlgebra.GetDeterminantMij(theA, 1, j + 1);
var theSign = LinearAlgebra.CalcDeterMijSign(1, j + 1);
theRetA[j] = theSign * LinearAlgebra.CalcDeterminant(theA1);
}
return new TVector(theRetA);
}
/// <summary>
/// n维向量的n个向量的混合积A1×A2.....An-1·An
/// </summary>
/// <param name="Vectors">向量组</param>
/// <returns></returns>
public static double Mul3(params TVector[] Vectors)
{
if (Vectors == null || Vectors.Length < 2)
{
throw new Exception("参数错误必须是n维向量n-1个向量模式");
}
var theN = Vectors[0].Count;
if (theN != Vectors.Length)
{
throw new Exception("参数错误必须是n维向量n个向量模式");
}
var theA = new double[theN, theN];
for (int i = 0; i < theN; i++)
{
for (int j = 0; j < Vectors.Length; j++)
{
theA[j, i] = Vectors[j][i];
}
}
return LinearAlgebra.CalcDeterminant(theA);
}
/// <summary>
/// 向量混合积A×B·C
/// </summary>
/// <param name="A"></param>
/// <param name="B"></param>
/// <returns></returns>
public static double Mul(TVector A, TVector B, TVector C)
{
if (A.Count == B.Count && B.Count == 3)
{
double[,] theA = new double[3, 3];
for (int i = 0; i < 2; i++)
{
theA[0, i] = A[i];
theA[1, i] = B[i];
theA[2, i] = C[i];
}
return LinearAlgebra.CalcDeterminantAij(theA);
}
else
{
throw new Exception("现仅支持3分量.");
}
}标签：
原文地址：http://blog.csdn.net/hawksoft/article/details/43166337
