[经典面试题][网易]数组分割

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【题目】

任意2N个正整数，从其中选出N个整数，使得选出的N个整数和同剩下的N个整数之和的差最小。

【来源】

网易

【分析】

假设数组A[1..2N]所有元素的和是SUM。模仿动态规划解0-1背包问题的策略。

从2N个数中找N个元素，有三种可能：大于Sum/2，小于Sum/2以及等于Sum/2。而大于Sum/2与小于等于Sum/2没区别，故可以只考虑小于等于Sum/2的情况。

令S(k, i)表示前k个元素中任意i个元素的和的集合。显然：

S(k, 1) = {A[i] | 1<= i <= k}

S(k, k) = {A[1]+A[2]+…+A[k]}

S(k, i) = S(k-1, i) U {A[k] + x | x属于S(k-1, i-1) }

按照这个递推公式来计算，最后找出集合S(2N, N)中与SUM/2最接近的那个和，这便是答案。

【分析一】

状态转移方程：

其中，S[i-1][j][k]表示前i-1个元素中选取j个使其和不超过但最逼近k；

         S[i-1][j-1][k-A[i]]在前i-1个元素中选取j-1个元素使其和不超过但最逼近k-A[i]，这样再加上A[i]即第i个元素就变成了 选择上第i个元素的情况下最逼近k的和。

而第一种情况与第二种情况是完备且互斥的，所以需要将两者最大的值作为F[i][j][k]的值。

可以设置一个三维数组Path[][][]来记录所选择元素的轨迹。

该算法的时间复杂度为O(n^2*sum)，空间复杂度也为O(n^2*sum)。

【代码一】

/*********************************
*   日期：2015-02-01
*   作者：SJF0115
*   题目: 数组分割
*   来源：网易
*   博客：
**********************************/
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

// 模仿动态规划解0-1背包问题的策略
int MinSum(int num[],int n){
    if(n <= 0){
        return 0;
    }//if
    int sum = 0;
    int size = 2*n;
    // the sum of all number
    for(int i = 1;i <= size;++i){
        sum += num[i];
    }//for
    int dp[size + 1][n + 1][sum / 2 + 1];
    // 选中数字路径
    int path[size + 1][n + 1][sum / 2 + 1];
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    memset(path,0,sizeof(path));
    // 用dp(i,j,k)来表示从前i个元素中取j个元素,使得其和不超过k且最接近k,j <= min(i,n),k <= Sum/2
    // 状态转移方程：　　
    // dp(i,j,k)= max{dp(i-1,j-1,k-num[i])+num[i]，dp(i-1,j,k)}
    // dp(2N,N,SUM/2+1)就是题目的解。
    // 前i个元素
    for(int i = 1;i <= size;++i){
        // 任选j个元素
        int count = min(i,n);
        for(int j = 1;j <= count;++j){
            // 使得其和不超过k且最接近k
            for(int k = sum / 2;k >= 1;--k){
                // dp[i][j][k] = max(dp[i-1][j][k],dp[i-1][j-1][k-num[i]] + num[i]);
                dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k];
                if(k >= num[i] && dp[i-1][j][k] < dp[i-1][j-1][k-num[i]] + num[i]){
                    dp[i][j][k] = dp[i-1][j-1][k-num[i]] + num[i];
                    path[i][j][k] = 1;
                }//if
            }//for
        }//for
    }//for
    // 打印选择路径
    int i = 2*n,j = n,k = sum / 2;
    while(i > 0 && j > 0, k > 0){
        if(path[i][j][k] == 1){
            cout<<num[i]<<" ";
            --j;
            k -= num[i];
        }//if
        --i;
    }//while
    cout<<endl;
    int sum1 = dp[size][n][sum/2];
    int sum2 = sum - dp[size][n][sum/2];
    cout<<"Sum1->"<<sum1<<" sum2->"<<sum2<<endl;
    return abs(sum1 - sum2);
}

int main(){
    //int A[] = {0,1,5,7,8,9,6,3,11,20,17};
    //int A[] = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};
    int A[] = {0,2,8,5,10};
    int n = 2;
    cout<<"最小差->"<<MinSum(A,n)<<endl;;
    return 0;
}

【分析二】

我们从上面的代码可以看出，S[i][j][k]只与 S[i-1][][]有关，这一点状态方程上也能反映出来。这种固定关系我们可以想办法去掉。从而节省空间。

我们可以用二维数组来代替三维数组来达到降低空间复杂度的目的。

但是怎么代替呢？因为S[i][j][k]只与S[i-1][][]有关，可以把i这一维省略。

同时用二维数组来代替的时候应该对S[i][j][k]的“j”维进行逆序遍历。

为 什么? 因为只有这样才能保证计算S[i][j][k]时利用的S[i-1][j][]和S[i-1][j-1][]是真正i-1这个状态的值，如果正序遍 历，那么当计算S[][j][]时，S[][j-1][]已经变化，那么计算的结果就是错误的。

【代码二】

    /*********************************
    *   日期：2015-02-01
    *   作者：SJF0115
    *   题目: 数组分割
    *   来源：网易
    *   博客：
    **********************************/
    #include <iostream>
    #include <cstring>
    #include <algorithm>
    using namespace std;

    int MinSum(int num[],int n){
        if(n <= 0){
            return 0;
        }//if
        int sum = 0;
        int size = 2*n;
        // the sum of all number
        for(int i = 1;i <= size;++i){
            sum += num[i];
        }//for
        int dp[n + 1][sum / 2 + 1];
        // 选中数字路径
        int path[size+1][n + 1][sum / 2 + 1];
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        memset(path,0,sizeof(path));
        //
        for(int i = 1;i <= size;++i){
            // 任选j个元素
            int count = min(i,n);
            for(int j = count;j >= 1;--j){
                // 使得其和不超过k且最接近k
                for(int k = num[i-1];k <= sum / 2;++k){
                    if(dp[j][k] < dp[j-1][k-num[i-1]] + num[i-1]){
                        dp[j][k] = dp[j-1][k-num[i-1]] + num[i-1];
                        path[i][j][k] = 1;
                    }//if
                }//for
            }//for
        }//for
        // 打印选择路径
        int i = 2 * n,j = n,k = sum / 2;
        while(i > 0 && j > 0 && k > 0){
            if(path[i][j][k] == 1){
                cout<<num[i]<<" ";
                --j;
                k -= num[i];
            }//if
            --i;
        }//while
        cout<<endl;
        int sum1 = dp[n][sum/2];
        int sum2 = sum - dp[n][sum/2];
        cout<<"Sum1->"<<sum1<<" sum2->"<<sum2<<endl;
        return abs(sum1 - sum2);
    }

    int main(){
        int A[] = {0,1,5,7,8,9,6,3,11,20,17};
        //int A[] = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};
        //int A[] = {0,2,8,5,10};
        int n = 5;
        cout<<"最小差->"<<MinSum(A,n)<<endl;;
        return 0;
    }

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原文地址：http://blog.csdn.net/sunnyyoona/article/details/43370745