wtf，最近挖坑有点小多啊，没办法>_<容我先把糖果公园A了再来写这个吧= =看看今天能不能A掉

好吧，我承认我第二天才把糖果公园A掉>_<下面把这篇小结补上

首先众所周知的是莫队算法是要把询问先按左端点属于的块排序，再按右端点排序

复杂度就先不证了，有兴趣的同学可以自己YY下或者查阅资料

下面举几个例子详细说明

1.小Z的袜子

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Description:

给定一个序列$m$个询问

每次询问：

区间中选两个数，两个数相等的概率

若概率为$0$则输出$\frac{0}{1}$

仔细观察发现，令$x$表示$x$这个值出现的次数，则每次询问$[l,r]$区间时答案就是

$\frac{\binom{x}{2}}{\binom{r-l+1}{2}}$

假如我们知道$[l,r]$区间中每个x出现的次数，用$cnt_x$表示，用ans表示当前答案

那么我们可以考虑当我们从$[l,r]$变为$[l,r+1]$时对ans的影响

已知只有$a_r$这个值的变化影响着我们的答案，而且容易看出答案是

$ans = ans - cnt_{a_r}*(cnt_{a_r}-1)$

$cnt_{a_r} = cnt_{a_r} + 1$

$ans = ans + cnt_{a_r}*(cnt_{a_r}-1)$

想一想为什么

其他情况同理请自行思考

这样每次转移均是$O(1)$,总复杂度$O(n^{1.5})$

Code

2.Codeforces 86D(Yandex.Algorithm 2011)

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几乎和小Z的袜子一模一样的莫队模板题

Code

3.bzoj 3289(Mato的文件管理)

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Description

给定一个序列$m$个询问

每次询问:

区间中逆序对数

很显然的发现可以用树状数组+莫队艹过去，每次修改是$O(nlogn)$的，可以通过

Code

这些题基本上都是一个套路了，学了莫队基本就会了

因为每次查询都是一个连续的区间，我们可以轻易找到每移动一次后对答案的贡献

那么，如果不是正常的对序列的区间询问，而是对树上两点路径的询问该怎么办呢？

没错，这就是传说中的。。。

树上莫队

先举个例子

1.Spoj 10707 Count on a tree II(COT2)

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Description

给定一棵树上n个结点上的数值，$m$个询问

每次询问:

区间中不同值的个数

卧槽，这TM怎么做啊？区间不是连续的啊！这莫队是不是做不了啊？

莫慌，我们有个神奇的东西，叫做

dfs序

我们可以用时间戳来对每个节点进行标记，$l_x$,$r_x$分别表示$x$的进出时间

我们利用了dfs序的性质，可以把两点间路径转换为一个连续的区间（还需要考虑Lca的问题，想一想，为什么）

没错，这样我们便可以对dfs序进行分块，莫队一样搞！

神犇们看到现在的话应该会做了，蒟蒻还是继续详细的说做法把>_<

定义$S(u,v)$为$u-v$路径上的顶点集合，root表示根节点

$S(u,v)=S(root,u) \bigtriangleup S(root,v) \bigtriangleup lca(u,v)$ ($\bigtriangleup$表示集合中的对称差)

定义$T(u,v)=S(root,u) \bigtriangleup S(root,v)$，我们先不管lca的事情

如果我们从$u-v$的路径变成$u-v‘$的路径的话对答案有什么影响呢？

根据定义我们可以得到$T(u,v‘)=S(root,u) \bigtriangleup S(root,v‘)$

$T(u,v) \bigtriangleup T (u,v‘) = S(root,u) \bigtriangleup S(root,v) \bigtriangleup S(root,u) \bigtriangleup S(root,v‘)$

$=S(root,v) \bigtriangleup S(root, v‘)$

$=T(v,v‘)$

于是我们可以得到$T(u,v‘)=T(u,v) \bigtriangleup T(v, v‘)$

即每次更新时$\bigtriangleup T(v, v‘)$即可

也即对v-v’的路径(除了$lca(v,v‘)$)的点的存在性取反即可

实际上我们记录的是$T$,然后每次改变lca(v,v’)的存在性将其变为$S$统计答案

然后再将$lca(v,v‘)$的存在性还原变回$T$就行了

其实读者可以换个图把dfs序标一下帮助理解>_<

然后这题实际已经解决了，将dfs序分块就将区间化为dfs序上区间问题，考虑lca就可以了

Code

2.WC 2013 糖果公园(Uoj 58)

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Description

唔。。题目太长了童鞋们自己看吧>_<戳这里

总之它是需要修改的啦~

好了，想必看到这里，大家对莫队算法和树上莫队算法都已经有了一定的了解

我们发现之前我们做的题都是只有查询没有修改，那么有修改的就不可以做了吗？

并非如此

如果没有修改我们随意搞搞就可以了，有修改的话相等于加了一个时间的维度变成了三维的

我们可以按左端点为第一关键字，右端点为第二关键字，时间为第三关键字排序

预处理每次修改前的颜色，以及这次修改后的颜色

莫队对询问排序

每次询问发现与上次时间不同时暴力t++，t–同时修改颜色及答案即可（用到之前预处理）

然后解决完时间问题后便就是正常的二维莫队了

如果我们将块的大小设为$B=n^{\frac{2}{3}}$，分为$n^{\frac{1}{3}}$块

相当于询问分成了${\frac{n}{B}}^{2}$块，每次移动距离为$B$,每块最多移动$n$

由于n和q同阶，所以总复杂度是$O(nB+n* {\frac{n}{B}}^{2})$所以得到$B=n^{\frac{2}{3}}$最优

然后就是拍代码啦~

Code

完结撒花！

(妈蛋从10点多写到现在总算是写完了，感人肺腑,意识不清可能哪里写错了，多多包涵>_<