[算法系列之二十四]后缀树（Suffix Tree）

之前有篇文章（[算法系列之二十]字典树（Trie））我们详细的介绍了字典树。有了这些基础我们就能更好的理解后缀树了。

一 引言 模式匹配问题

给定一个文本text[0…n-1], 和一个模式串 pattern[0…m-1]，写一个函数 search(char pattern[], char text[]), 打印出pattern在text中出现的所有位置(n > m)。

这个问题已经有两个经典的算法：KMP算法 ，有限自动机，前者是对模式串pattern做预处理，后者是对待查证文本text做预处理。在进行完预处理后，可以到达O(n)的时间复杂度，n是text的长度。

后缀树可以用对text进行预处理，构造一个text的后缀树，就可以在 O(m) 的时间内搜索任意一个pattern，m是模式串pattern的长度。

二 简介

后缀树提出的目的是用来支持有效的字符串匹配和查询，例如上面的问题。后缀树（Suffix tree）是一种数据结构，能快速解决很多关于字符串的问题。后缀树的概念最早由Weiner 于1973年提出，既而由McCreight 在1976年和Ukkonen在1992年和1995年加以改进完善。

总结一句：一个给定的文本text的后缀树就是一个压缩的后缀字典树。

前面一篇文章我们已经讨论了 字典树（Trie），下面先让我们来了解一下压缩字典树（ Compressed Trie）。

三 压缩字典树（ Compressed Trie）

我们以一下一组单词来介绍一下什么是压缩字典树：

{bear, bell, bid, bull, buy, sell, stock, stop}

我们以上面一组单词构建一个字典树如下：

下面就是压缩字典树。压缩字典树是从字典树转换而来，把字典树中的单节点链条进行压缩。即一个没有分叉的单边，进行压缩。

四 后缀压缩字典树

经过以上讨论，我们知道后缀树是文本text所有后缀的压缩字典树。一个后缀树的生成经过一下几步：
（1）生成给定文本text的所有后缀。
（2）视所有后缀为有效单词，生成一个压缩字典树。

我们以”banana\0”（’\0’是结束字符）为例，字符串的所有后缀为：

banana\0
anana\0
nana\0
ana\0
na\0
a\0
\0

假设我们考虑以上字符串的所有后缀均为有效单词，构造一个字典树如下：

如果我们合并单节点链条，我们得到如下压缩字典树，即给定文本”banana\0”的后缀树。

至此，我们已经了解了什么是后缀树了。

五 后缀树应用

（1）从目标串S中判断是否包含模式串T（Pattern Searching）

方案：用S构造后缀树，按在Trie中搜索子串的方法搜索T即可。
原理：若T在S中，则T必然是S的某个后缀的前缀。
例如：S = "leconte" T = "con"，查找T是否在S中,则T(con)必然是S(leconte)的后缀之一"conte"的前缀。

（2）从目标串S中查找串T重复次数

方案：用S+‘$‘构造后缀树，搜索T节点下的叶节点数目即为重复次数
原理：如果T在S中重复了两次，则S应有两个后缀以T为前缀，重复次数就自然统计出来了。

（3）从目标串S中查找最长的重复子串（Finding the longest repeated substring）

方案：原理同2，具体做法就是找到最深的非叶节点。
这个深是指从root所经历过的字符个数，最深非叶节点所经历的字符串起来就是最长重复子串。
为什么要非叶节点呢?因为既然是要重复，当然叶节点个数要>=2。

（4）从目标串T和S中查找最长公共子串（Finding the longest common substr ing）

方案：将S1#S2$作为字符串压入后缀树，找到最深的非叶节点，且该节点的叶节点既有#也有$(无#)。

（5）从目标串T中查找最长的回文子串（Finding the longest palindrome in a string）

引用：

Pattern Searching | Set 8 (Suffix Tree Introduction)
Trie