[算法系列之二十六]字符串匹配之KMP算法

一 简介

KMP算法是一种改进的字符串匹配算法，由D.E.Knuth与V.R.Pratt和J.H.Morris同时发现，因此人们称它为克努特—莫里斯—普拉特操作（简称KMP算法）。KMP算法的关键是利用匹配失败后的信息，尽量减少模式串与主串的匹配次数以达到快速匹配的目的。

二 基于部分匹配表的KMP算法

举例来说，有一个字符串”BBC ABCDAB ABCDABCDABDE”，我想知道，里面是否包含搜索串”ABCDABD”？

步骤1：字符串”BBC ABCDAB ABCDABCDABDE”的第一个字符与搜索串”ABCDAB D”的第一个字符进行比较。因为字符B与A不匹配，所以搜索串后移一位。

步骤2：因为字符B与A不匹配，所以搜索串再往后移一位。

步骤3：就这样，直到字符串有一个字符与搜索串的第一个字符相同为止。

步骤4：接着比较字符串和搜索串的下一个字符，还是相同。

步骤5：直到字符串有一个字符与搜索串对应的字符不相同为止。

步骤6：这时，最自然的反应是，将搜索串整体后移一位，再从头逐个比较。这样做虽然可行，但是效率很差，因为你要把”搜索位置”移到已经比较过的位置，重比一遍。（这就是之前讲的[算法系列之十二]字符串匹配之蛮力匹配）

步骤7：一个基本事实是，当空格与D不匹配时，你其实知道前面六个字符是”ABCDAB”。KMP算法的想法是，充分利用这个已知信息，不要把”搜索位置”移回已经比较过的位置，继续把它向后移。这样就提高了效率。

步骤8：怎么做到这一点呢？可以针对搜索串，算出一张《部分匹配表》（Partial Match Table）。这张表是如何产生的，后面再介绍，这里只要会用就可以了。

步骤9：已知空格与D不匹配时，前面六个字符”ABCDAB”是匹配的。

查表可知，最后一个匹配字符B对应的”部分匹配值”为2，因此按照下面的公式算出向后移动的位数：

移动位数 = 已匹配的字符数 - 失配字符的上一位字符对应的部分匹配值

因为 6 - 2 等于4，所以将搜索串向后移动4位，如下图。

步骤10：因为空格与Ｃ不匹配，搜索串还要继续往后移。这时，已匹配的字符数为2（”AB”），对应的”部分匹配值”为0。所以，移动位数 = 2 - 0，结果为 2，于是将搜索串向后移2位。

步骤11：因为空格与A不匹配，继续后移一位。逐位比较，直到发现C与D不匹配。

于是，移动位数 = 6 - 2，继续将搜索串向后移动4位。

步骤12：逐位比较，直到搜索串的最后一位，发现完全匹配，于是搜索完成。

如果还要继续搜索（即找出全部匹配），移动位数 = 7 - 0，再将搜索串向后移动7位，这里就不再重复了。

三 部分匹配表（Partial Match Table）

下面介绍《部分匹配表》是如何产生的。首先，要了解两个概念：前缀和后缀。

• 前缀指除了最后一个字符以外，一个字符串的全部头部组合；
• 后缀指除了第一个字符以外，一个字符串的全部尾部组合。

举例说明：

部分匹配值就是前缀和后缀的最长的共有元素的长度。

以”ABCDABD”为例。

由此得到部分匹配表，如下：

“部分匹配”的实质是，有时候，字符串头部和尾部会有重复。比如，”ABCDAB”之中有两个AB，那么它的”部分匹配值”就是2（AB的长度）。搜索词移动的时候，第一个AB向后移动4位（字符串长度-部分匹配值），就可以来到第二个AB的位置。

四 基于next数组的KMP算法

通过以上的匹配过程可以看出，问题的关键就是寻找搜索串中最大长度的相同前缀和后缀。找到了搜索串中每个字符之前的前缀和后缀公共部分的最大长度后，便可基于此匹配。而这个最大长度便正是next 数组要表达的含义。

4.1：根据《部分匹配表》求next 数组

经过上面叙述我们已经知道搜索串“ABCDABD”各个前缀后缀的最大公共元素长度了，如下图所示：

部分匹配表也由此而出如下所示：

有了部分匹配表我们就可以利用下面公式计算移动位数：

移动位数 = 已匹配的字符数 - 失配字符的上一位字符对应的部分匹配值

上文利用部分匹配表和移动位数计算公式进行匹配时，我们发现，当一个字符失配时，其实没必要考虑这个失配的字符，我们每次都是看的是失配字符的上一位字符“部分匹配值”。如此，便引出了next 数组。

把next 数组跟“部分匹配表”对比后，不难发现，next 数组相当于“部分匹配表” 整体向右移动一位，然后第一个元素值赋为-1。意识到了这一点，你会惊呼原来next 数组的求解竟然如此简单：就是找最大对称长度的前缀后缀，然后整体右移一位，第一个元素值赋为-1（当然，你也可以直接计算某个字符对应的next值，就是看这个字符之前的字符串中有多大长度的相同前缀后缀）。

更新一下搜索串移动位数的计算公式：

移动位数 = 失配字符的位置 - 失配字符next值

其实两公式实质上是一样的，失配字符的位置等于已匹配的字符数，失配字符next 值等于失配字符的上一位字符的部分匹配值，只是换一种说法而已。

4.2 递推求解next数组

对于给定的字符串p，其next数组的含义是：对于k=next[j]，p的前缀p[0…k-1]和p的后缀p[j-k…j-1]匹配，k要尽可能的大，且k< j。我们可以根据上述含义写出next的蛮力计算方法。复杂度应该是O(^2)。

换个思路，现在next[0]=-1,next[1]=0。
假设k=next[j]，则p[0…k-1]=p[j-k…j-1]，那么求next[j+1]有两种情况：

• 如果p[k] = p[j]，则p[0…k]=p[j-k…j]，所next[j+1]=k+1=next[j]+1
• 如果p[k] != p[j]，这是可以看做另外一个字符串匹配的问题，主串和模式串都是p，当匹配失败时，k应该如何移动呢？显然是k=next[k]

    void GetNext(string T,int next[]){
        int size = T.size();
        next[0] = -1;
        int k = -1;
        int j = 0;
        while(j < size - 1){
            // p[k]表示前缀，p[j]表示后缀
            if(k == -1 || T[k] == T[j]){
                ++k;
                ++j;
                next[j] = k;
            }//if
            else{
                // 回溯
                k = next[k];
            }
        }//while
    }

引用：

字符串匹配的KMP算法
从头到尾彻底理解KMP
KMP算法求next数组
KMP算法的next[]数组通俗解释