【原创】开源Math.NET基础数学类库使用(08)C#进行数值积分

　　在数值计算的需求中，数值积分也是比较常见的一个。我们也知道像Matlab，Mathematics等软件的积分求解功能非常高大上，不仅能求解定积分，还能求解不定积分，甚至多重积分等等。而Math.NET这个组件没有如此高级的功能，目前也只提供了比较件的闭区间上的定积分求解功能。今天就一起来看看，因为不定积分涉及到符号计算，因此其背后的原理和实现要复杂得多。就连Matlab这种软件暂时也不支持混编编程求解符号计算相关的功能。

　　如果本文资源或者显示有问题，请参考本文原文地址：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/4301017.html

1.定积分

　　很多人可能已经淡忘了定积分的概念，当然需要用到的朋友看到这里，也基本不用看本段的内容，比较简单，高等数学已经是10多年前学过的东西了，虽然以前很精通，现在也只能凭印象理解和网络来对这个概念稍微进行整理，可能有些不完整或小错误，还请谅解。

　　数学定义：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点xi将区间[a,b]分为n 个小区间，在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ri（i=1,2,3„,n），作和式f(r1)+...+f(rn) ，当n趋于无穷大时，上述和式无限趋近于某个常数A，这个常数叫做y=f(x) 在区间上的定积分. 记作/ab f(x) dx 即 /ab f(x) dx ＝limn>00 [f(r1)+...+f(rn)]，这里，a 与 b叫做积分下限与积分上限，区间[a,b] 叫做积分区间，函数f(x) 叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式。

　　几何定义：可以理解为在 Oxy坐标平面上，由曲线y=f(x)与直线x=a,x=b以及x轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）。

详细的可以参考以下链接：

定积分的计算公式和性质：http://www.shuxuecheng.com/gaosuzk/content/lljx/wzja/5/5-2.htm

2.Math.NET关于定积分的实现

　　Math.NET中对定积分的实现都在MathNet.Numerics.Integration命名空间以及Integrate.cs中,Integrate静态类其实是对Integration命名空间下几个近似积分方法的实现。Math.NET定积分的近似求解主要是用到了“梯形法则”，详细的内容可以参考以下：链接，其原理非常简单。这里我们只介绍经常用到的Integrate静态类的实现，很简单，其他内部实现过程可以查源码：

 1 using System;
 2 using MathNet.Numerics.Integration;
 3 
 4 namespace MathNet.Numerics
 5 {
 6     /// <summary>
 7     /// 数值积分类
 8     /// </summary>
 9     public static class Integrate
10     {
11         /// <summary>      
12         /// 近似解析光滑函数在闭区间上的定积分
13         /// </summary>
14         /// <param name="f">The analytic smooth function to integrate.</param>
15         /// <param name="intervalBegin">Where the interval starts, inclusive and finite.</param>
16         /// <param name="intervalEnd">Where the interval stops, inclusive and finite.</param>
17         /// <param name="targetAbsoluteError">The expected relative accuracy of the approximation.</param>
18         /// <returns>Approximation of the finite integral in the given interval.</returns>
19         public static double OnClosedInterval(Func<double, double> f, double intervalBegin, double intervalEnd, double targetAbsoluteError)
20         {
21             return DoubleExponentialTransformation.Integrate(f, intervalBegin, intervalEnd, targetAbsoluteError);
22         }
23 
24         /// <summary>   
25         ///  近似解析光滑函数在闭区间上的定积分
26         /// </summary>
27         /// <param name="f">The analytic smooth function to integrate.</param>
28         /// <param name="intervalBegin">Where the interval starts, inclusive and finite.</param>
29         /// <param name="intervalEnd">Where the interval stops, inclusive and finite.</param>
30         /// <returns>Approximation of the finite integral in the given interval.</returns>
31         public static double OnClosedInterval(Func<double, double> f, double intervalBegin, double intervalEnd)
32         {
33             return DoubleExponentialTransformation.Integrate(f, intervalBegin, intervalEnd, 1e-8);
34         }
35     }
36 }

　　下面的例子就是直接调用该类进行的。　　

3.C#使用Math.NET求解定积分的例子

　　使用比较简单，直接看源码：

 1 // 1. Integrate x*x on interval [0, 10]
 2 Console.WriteLine(@"1.函数 x*x 在闭区间 [0, 10] 上的积分");
 3 var result = Integrate.OnClosedInterval(x => x * x, 0, 10);
 4 Console.WriteLine(result);
 5 Console.WriteLine();
 6 
 7 // 2. Integrate 1/(x^3 + 1) on interval [0, 1]
 8 Console.WriteLine(@"2.函数 1/(x^3 + 1) 在闭区间 [0, 1] 上的积分");
 9 result = Integrate.OnClosedInterval(x => 1 / (Math.Pow(x, 3) + 1), 0, 1);
10 Console.WriteLine(result);
11 Console.WriteLine();
12 
13 // 3. Integrate f(x) = exp(-x/5) (2 + sin(2 * x)) on [0, 10]
14 Console.WriteLine(@"3.函数 f(x) = exp(-x/5) (2 + sin(2 * x)) 在 [0, 10]上的积分");
15 result = Integrate.OnClosedInterval(x => Math.Exp(-x / 5) * (2 + Math.Sin(2 * x)), 0, 100);
16 Console.WriteLine(result);
17 Console.WriteLine();
18 
19 // 4. Integrate target function with absolute error = 1E-4
20 Console.WriteLine(@"4. 对目标函数进行积分，绝对误差= 1E-4 ,区间 [0, 10]");
21 Console.WriteLine(@"public static double TargetFunctionA(double x)
22 {
23 return Math.Exp(-x / 5) * (2 + Math.Sin(2 * x));
24 }");
25 result = Integrate.OnClosedInterval(TargetFunctionA, 0, 100, 1e-4);
26 Console.WriteLine(result);
27 Console.WriteLine();

参数主要有3个：函数，积分下限，积分上限，其他的就是附带一个绝对误差了，看看运行结果：

1.函数 x*x 在闭区间 [0, 10] 上的积分
333.333333333332

2.函数 1/(x^3 + 1) 在闭区间 [0, 1] 上的积分
0.835648848264702

3.函数 f(x) = exp(-x/5) (2 + sin(2 * x)) 在 [0, 10]上的积分
10.4950494839272

4. 对目标函数进行积分，绝对误差= 1E-4 ,区间 [0, 10]
public static double TargetFunctionA(double x)
{
    return Math.Exp(-x / 5) * (2 + Math.Sin(2 * x));
}
10.4950494839276