字典序法生成全排列算法的证明

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引言

对一个给定数据进行全排列，在各种场合经常会用到。组合数学中，生成全排列的方法有很多，卢开澄老师的《组合数学》中就介绍了三种：序数法，字典序法，临位互换法等。其中以字典序法由于算法简单，并且使用的时候可以依照当前状态获取下一个状态，直到所有排列全部完成，方便在程序中随要随用，应用比较广泛，STL中的Next_permutation也是使用此法。

算法定义

首先看什么叫字典序，顾名思义就是按照字典的顺序（a-z, 1-9）。以字典序为基础，我们可以得出任意两个数字串的大小。比如 "1" < "12"<"13"。 就是按每个数字位逐个比较的结果。对于一个数字串，“123456789”， 可以知道最小的串是 从小到大的有序串“123456789”，而最大的串是从大到小的有序串“*987654321”。这样对于“123456789”的所有排列，将他们排序，即可以得到按照字典序排序的所有排列的有序集合。

如此，当我们知道当前的排列时，要获取下一个排列时，就可以范围有序集合中的下一个数（恰好比他大的）。比如，当前的排列时“123456879”， 那么恰好比他大的下一个排列就是“123456897”。 当当前的排列时最大的时候，说明所有的排列都找完了。

于是可以有下面计算下一个排列的算法：

设P是1～n的一个全排列:p=p1p2......pn=p1p2......pj-1pjpj+1......pk-1pkpk+1......pn

　　1）从排列的右端开始，找出第一个比右边数字小的数字的序号j（j从左端开始计算），即 j=max{i|pi<pi+1}

　　2）在pj的右边的数字中，找出所有比pj大的数中最小的数字pk，即 k=max{i|pi>pj}（右边的数从右至左是递增的，因此k是所有大于pj的数字中序号最大者）

　　3）对换pi，pk

　　4）再将pj+1......pk-1pkpk+1......pn倒转得到排列p‘=p1p2.....pj-1pjpn.....pk+1pkpk-1.....pj+1，这就是排列p的下一个排列。

证明

算法实现

	/**
	 * get the next permutation based on dictionary order method
	 * 
	 * @param cur
	 * @return next permutation string, or null if cur is the last
	 */
	public static String next(String cur) {
		String ret = null;
		if (cur == null)
			return ret;
		int strlen = cur.length();
		char[] lcur = cur.toLowerCase().toCharArray();
		int j = strlen - 2;
		while (j >= 0 && lcur[j] > lcur[j + 1]) {
			j--;
		}
		if (j < 0)
			return ret;

		int k = strlen - 1;
		while (lcur[k] < lcur[j]) {
			k--;
		}

		// swap lcur[k], lcur[j]
		char temp = lcur[k];
		lcur[k] = lcur[j];
		lcur[j] = temp;

		// reverse lcur[j+1, ..., strlen-1]
		int low = j + 1;
		int high = strlen - 1;
		while (low < high) {
			temp = lcur[low];
			lcur[low] = lcur[high];
			lcur[high] = temp;
			low++;
			high--;
		}
		ret = String.valueOf(lcur);
		return ret;
	}

字典序法生成全排列算法的证明

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原文地址：http://www.cnblogs.com/Vae98Scilence/p/4315480.html