算法导论学习之插入排序+合并排序

最近准备花时间把算法导论详细的看一遍，强化一下算法和数据结构的基础，将一些总结性的东西写到博客上去。

一.插入排序
算法思想：如果一个数组A，从A[1–n-1]都是有序的，然后我们将A[n]插入到A[1–n-1]的某个合适的位置上去那么就可以保证A[1–n]都是有序的。这就是插入排序的思想；具体实现的时候我们将数组的第一个元素看出有序，然后从第二个元素开始按照上面的步骤进行插入操作，直到插入最后一个元素，然后整个数组都是有序的了。

时间复杂度分析：代码中有两重for循环，很容易看出时间复杂度是n^2。
更多细节见代码及注释。
代码如下：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;

///插入排序:实现从大到小的排序
void Insert_sort(int a[] ,int n)
{
     for(int i=2;i<=n;i++)
      {
             int key=a[i];  ///当前待插入的元素
             int j=i-1; ///a[1--i-1]已经有序，将a[i]插入其中
             while(j>0&&a[j]<key) ///寻找插入位置，并同时实现元素后移
             {
                   a[j+1]=a[j];
                   j--;
             }
            a[j+1]=key;  ///插入元素
      }
}

///插入排序递归实现
 void Insert(int a[],int n)
 {
       int j=n-1;
       int key=a[n];
       while(j>0&&a[j]<key)
       {
             a[j+1]=a[j];
             j--;
       }
       a[j+1]=key;
 }

void Insert_sort1(int a[],int n)
{
      if(n==1)  ///只有一个元素时默认为有序的
         return ;
      Insert_sort1(a,n-1); ///对1--n-1递归进行插入排序
      Insert(a,n); ///1--n-1有序之后,讲a[n]插入
}

int main()
{

      int n=5,a[10];
      cout<<"请输入5个整数: "<<endl;
      for(int i=1;i<=n;i++)
           cin>>a[i];
      Insert_sort1(a,n);
      cout<<"排序以后的数组："<<endl;
      for(int i=1;i<=n;i++)
          cout<<a[i]<<" ";
      cout<<endl;
   return 0;
}

二.合并排序
算法思想：合并排序是一种典型的基于分治算法的排序方法。一般分治算法在每一层递归中都有以下几个步骤：
分解：将当前问题分解为几个之问题
求解：对每个之问题递归求解，如果问题规模足够小则直接求解
合并：将子问题的解合并成原问题的解。
对应到合并排序中如下：
分解：如果要对A[p,r]进行排序，则分解为A[p,(p+r)/2]和A[(p+r)/2+1,r]进行排序。
求解：对A[p,(p+r)/2]和A[(p+r)/2+1,r]继续上面的递归求解，如果p==r(只有一个元素)则直接返回。
合并： 合并有序的A[p,(p+r)/2]和有序的A[(p+r)/2+1,r]得到有序的A[p,r]。
从中可以看出合并是其中的关键步骤，合并函数Merge实现将两个有序的序列合并成一个有序的序列。更多的细节见代码。

时间复杂度分析：归并排序是一个递归过程，采用递归式分析可得时间复杂度为nlgn。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

#define INF 0x3f3f3f3f
#define n 10

///合并排序:实现从小到大的排序
void Merge(int a[],int p,int q,int r)
{ ///合并函数
        int n1=q-p+1;  ///左区间长度
        int n2=r-q;  //
        ///复制左右两个区间的值到数组
        int left[n],right[n];
        for(int i=p;i<=q;i++)
              left[i-p+1]=a[i];
        for(int i=q+1;i<=r;i++)
              right[i-q]=a[i];
        ///合并的基本思想是每次从left和right中选一个最小的放回原数组
        ///的相应位置
       ///下面对将两个区间合并回原数组的操作提供两种方法
/*
       ///1.在left和right数组的最后一位加一个值为无穷大的监视哨
       ///并通过控制for循环的次数，使得监视哨不会被放回原数组
       left[n1+1]=INF;
       right[n2+1]=INF;
       int i=1,j=1;
       for(int k=p;k<=r;k++)
       {
              if(left[i]<=right[j])
                  a[k]=left[i],i++;
              else
                 a[k]=right[j],j++;
       }*/
       ///2.不设立监视哨通过left和right数组的下标控制循环，当left或right数组为空之后，
       ///再将另一个数组剩下的值合并到原数组的相应位置。
       int i=1,j=1;
       int k=p;
       while(i<=n1&&j<=n2)
       {
              if(left[i]<right[j])
                 a[k++]=left[i++];
             else
                 a[k++]=right[j++];
       }
       ///收尾处理
       for(int d=i;d<=n1;d++)
               a[k++]=left[d];
     for(int d=j;d<=n2;d++)
               a[k++]=right[d];
}

void Merge_sort(int a[],int p,int r)
{
       if(p>=r)   ///p==r时说明只剩一个元素，默认为有序
           return ;
       Merge_sort(a,p,(p+r)/2); ///对数组的左半部分进行合并排序
       Merge_sort(a,(p+r)/2+1,r);  ///对数组的右半部分进行合并排序
       Merge(a,p,(p+r)/2,r); ///数组的左右两部分都是有序的，则合并这两个部分。
}
int main()
{
      int a[n];
      cout<<"请输入5个整数: "<<endl;
      for(int i=1;i<=5;i++)
           cin>>a[i];
      Merge_sort(a,1,5);
      cout<<"排序以后的数组："<<endl;
      for(int i=1;i<=5;i++)
          cout<<a[i]<<" ";
      cout<<endl;
   return 0;
}