算法导论学习之快排+各种排序算法时间复杂度总结

快排是一种最常用的排序算法，因为其平均的时间复杂度是nlgn，并且其中的常数因子比较小。

一.快速排序
快排和合并排序一样都是基于分治的排序算法;快排的分治如下:
分解:对区间A[p,r]进行分解,返回q,使得A[p–q-1]都不大于A[q] A[q+1,r]都大于A[q];
求解:对上面得到的区间继续递归进行快排
合并:因为快排是原地排序,所以不需要特别的合并
从上可以看出最重要的就是分解函数,其按关键值将数组划分成3部分，其具体实现的过程见代码注释。

我们一般取数组的最后一个元素作为划分比较的关键值，如下面的代码

int Paratition(int *a,int p,int r)
{ ///在循环时a[p--i]表示的是不大于key的元素
  ///a[i+1--j]表示的是当前大于key的元素
  ///划分的过程其实就是将每一个元素通过比较放到这两个区间去(主要是i的增长)。
  ///当然最后还要将a[i+1]和a[r]交换,使得a[i+1]表示划分元素
    int key=a[r]; ///取最后一个元素作为比较的关键值
    int i=p-1;
    for(int j=p;j<r;j++)
        if(a[j]<=key)
        {
            i++;
            swq(a[j],a[i]);
        }
    swq(a[i+1],a[r]);
    return i+1;
}

但是我们也可以在区间a[p,r]中任取一个元素作为关键值，这样可以使得每次的划分更加的均匀，从而提高效率，对应的代码如下：

///随机划分函数
int RandParatition(int *a,int p,int r)
{
    int x=rand()%(r-p+1)+p;   ///产生一个[p,r]之间的随机数x
    swq(a[x],a[r]);  ///将a[x],a[r]交换,使得将a[x]作为划分的关键值
    return Paratition(a,p,r);
}

下面给出一份快排的完整代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<ctime>
#include<cstring>
using namespace std;

void swq(int &a,int &b)
{
    int t=a;
    a=b;
    b=t;
}
///划分函数
int Paratition(int *a,int p,int r)
{ 
    int key=a[r];
    int i=p-1;
    for(int j=p;j<r;j++)
        if(a[j]<=key)
        {
            i++;
            swq(a[j],a[i]);
        }
    swq(a[i+1],a[r]);
    return i+1;
}

///快排
void QiuckSort(int *a,int p,int r)
{
    if(p>=r)
        return;
    int q=Paratition(a,p,r);
    QiuckSort(a,p,q-1);
    QiuckSort(a,q+1,r);
}

///以上是一般的快排,还有一个随机快排
///随机快排的思想在于划分a[p,r]时我们不是每次都选a[r]作为关键值
///而是每次随机的在a[p,r]中取一个元素作为划分的关键值。

///随机划分函数
int RandParatition(int *a,int p,int r)
{
    int x=rand()%(r-p+1)+p;   ///产生一个[p,r]之间的随机数x
    swq(a[x],a[r]);  ///将a[x],a[r]交换,使得将a[x]作为划分的关键值
    return Paratition(a,p,r);
}

///随机快排函数
void RandQiuckSort(int *a,int p,int r)
{
    if(p>=r)
        return;
    int q=RandParatition(a,p,r);  ///随机快排调用的是随机划分函数
    RandParatition(a,p,q-1);
    RandParatition(a,q+1,r);
}

int main()
{
      int n=5,a[10];
      cout<<"请输入"<<n<<"个数："<<endl;
      for(int i=1;i<=n;i++)
           cin>>a[i];
      ///RandQiuckSort(a,1,n);
      QiuckSort(a,1,n);
      cout<<"排序以后的数组："<<endl;
      for(int i=1;i<=n;i++)
          cout<<a[i]<<" ";
      cout<<endl;
   return 0;
}

二.快排的时间复杂度：快排的时间复杂度分析是一件很麻烦的事情，我们知道如果每次的划分都是完全不平衡的即T(n)=T(n-1)+O(n)，那么快排的时间复杂度是n^2；如果每次都是均等的划分即T(n)=T(n/2)+T(n/2)+O(n)，那么时间复杂度就是nlgn。但是这两种划分在平时都是不常见的，所以不具有代表性；但是如果我们考察一些不平衡的划分，如每次都是9:1即T(n)=T(n/10)+T(n*9/10)+O(n)，我们可以发现在这种情况下时间复杂度仍然是nlgn；并且即使不平衡性进一步增加(只要不是完全不平衡)，达到99:1的程度，时间复杂度仍然会是nlgn(关于这一段算法导论上有大篇幅的证明)。所以我们可以说快排的平均时间复杂度是nlgn，这个复杂度是经常可以达到的。

三.常用排序算法的时间复杂度总结
以下简单的罗列出前面学习过的排序算法的时间复杂度，不给出严格的证明。

 排序算法          最好时间复杂度               最坏时间复杂度

 插入排序         O(n)(原数组有序)            O(n^2)(原数组逆序)

 合并排序         O(nlgn)                    O(nlgn)

 堆排序           O(nlgn)                    O(nlgn)

 快速排序         O(n^2)(每次都是完全不平衡划分) O(nlgn)（大多数情况）

从上面的表格看似乎合并排序和堆排序都要比快排好，但实际中因为快排O(nlgn)的时间复杂度是经常可以达到，并且快排中的常数因子比较小，所以在实际中快排一般是最快的排序算法，不愧他”快排”的称号。