算法导论-中位数和顺序统计量

时间：2015-03-19 16:13:17 阅读：187 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

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在一个由n个元素组成的集合中，第i个顺序统计量是该集合中第i小的元素。一个中位数是它所属集合的“中点元素”。当n为奇数时，中位数是唯一的，位于i=(n+1)/2处；当n为偶数时，存在两个中位数，分别位于i=n/2和i=n/2+1处。如果不考虑n的奇偶性，中位数总是出现在i=⌊(n+1)/2⌋处（下中位数）和i=⌈(n+2)/2⌉（上中位数）。

1、最小值和最大值

在一个有n个元素的集合中，需要做n-1次（上界）比较才能找到最小值或最大值。

int MiniValue(const int *A, int len)
{
    int minValue = A[0];

    for (int i = 1; i < len; ++i)
    {
        if (A[i] < minValue)
        {
            minValue = A[i];
        }
    }

    return minValue;
}

那么如何同时找到最小值和最小值呢？

比较简单的思路是：只要分别独立找出最大值和最小值，各需要n-1次比较，共需2n-2次比较。下面给出一个算法，只需要最多3⌊n/2⌋次比较就可以同时找到最大值和最小值。

思路是：记录已知的最大值和最小值，对输出元素成对地进行处理。

（1）首先，将一对输入元素相互比较，然后将较小的与当前最小值比较，较大的与当前最大值比较，这样每对元素共需3次比较。

（2）如果n是奇数，将最小值和最大值的初值都设为第一个元素的值，然后成对地处理余下的元素；如果n是偶数，就对前两个元素做一次比较，决定最大值和最小值的初值，然后成对地处理余下的元素。

 1 void MinMaxValue(const int *A, int len, int &minValue, int &maxValue)
 2 {
 3     int i, tmpMin, tmpMax;
 4 
 5     if (len % 2 == 0 && len != 0)
 6     {
 7         minValue = A[0] < A[1] ? A[0] : A[1];
 8         maxValue = A[0] + A[1] - minValue;
 9         i = 2;
10     }
11     else
12     {
13         minValue = A[0];
14         maxValue = A[0];
15         i = 1;
16     }
17 
18     for (; i < len; i += 2)
19     {
20         if (A[i] < A[i + 1])
21         {
22             tmpMin = A[i];
23             tmpMax = A[i + 1];
24         }
25         else
26         {
27             tmpMin = A[i + 1];
28             tmpMax = A[i];
29         }
30 
31         if (tmpMin < minValue)
32         {
33             minValue = tmpMin;
34         }
35 
36         if (maxValue < tmpMax)
37         {
38             maxValue = tmpMax;
39         }
40     }
41 }

如果n是奇数，共进行3⌊n/2⌋次比较。如果n是偶数，共进行3(n-2)/2+1=3n/2-2次比较。

2、期望为线性时间的选择算法

下面介绍一种解决选择问题的分治算法。

#include <iostream>
using namespace std;

int RandomizedPartition(int *A, int low, int high)
{
    int key = A[high], tmp;
    int i = low - 1, j;

    for (j = low; j < high; ++j)
    {
        if (A[j] <= key)
        {
            i = i + 1;

            tmp = A[i];
            A[i] = A[j];
            A[j] = tmp;
        }
    }

    A[high] = A[i + 1];
    A[i + 1] = key;

    return i + 1;
}

int RandomizedSelect(int *A, int low, int high, int i)
{
    if (low == high)
    {
        return A[low];
    }

    int q = RandomizedPartition(A, low, high);
    int k = q - low + 1;

    if (i == k)
    {
        return A[q];
    }
    else if (i < k)
    {
        return RandomizedSelect(A, low, q - 1, i);
    }
    else
    {
        return RandomizedSelect(A, q + 1, high, i - k);
    }
}

//test
int main()
{
    int A[] = {10, 9, 5, 4, 3, 2, 1, 8, 7, 6};

    for (int i = 1; i <= 10; ++i)
    {
        cout << RandomizedSelect(A, 0, 9, i) << ‘ ‘;
    }
    cout << endl;

    return 0;
}