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我个人曾经在大二的时候读过《算法导论》这本书,虽然我在之后的学习中很少再看这本书了,但是《算法导论》带给我的启蒙意义远超过其他我看到过的书籍,哪怕是如今研究一些比较深入的程序语言理论,也少有书籍能做到《算法导论》对我个人的影响,我认为唯一可以媲美它的就是Dan Friedman的《the little schemer》,关于《the little schemer》的内容我以后会讲,但是无论你是不是函数式编程的爱好者,我都推荐你来看《the little schemer》。
为什么讲《算法导论》对于我个人有如此之大的影响呢?我认为是它彻底改变了我对于写代码这件事的认识,以及写代码的方式的改变。
它让我认识到代码是可以证明其正确性的。
用在证明代码正确性的思想有两点,一个是分类讨论,另一个是数学归纳法,而其中的关键就是通过将情况的划归,和缩小问题的大小去构造子问题,再通过假设子问题的成立,构造关于当前问题的证明,从而证明函数的正确性,一个很好的类比就是数学归纳法,我们首先证明i=1时成立(基本情况成立),然后假设i=n-1时成立(构造子问题成立),证明i=n时成立(证明函数成立)。
我用一个红黑树插入的例子来说明我的思想。
首先红黑树的插入是进行一个与平衡二叉树插入同样的操作,然后将新插入的节点赋为红色,赋为红色的意义是确保插入该节点后,不会破坏该节点所在子树的黑高度,从而使破坏的性质只为其父节点为红色,保证只有这个性质被破坏了。
然后进行的是对红黑树被破坏性质的修补工作,首先我们知道的是只有在其父节点为红色时,红黑树性质才有被破坏的可能性,而父节点为红色,那么爷爷节点只可能为黑色,不确定的是父节点的兄弟节点(我把它叫做叔叔节点)的颜色,以及插入子节点(我把它叫做孙子节点)的位置(是父节点的左子节点还是右子节点)。
我们现在使用分类讨论的思想:
情况 1:叔叔节点为红色,这样我们可以把爷爷节点的黑色传递给父亲节点和叔叔节点,这样修补了在孙子节点处发生的冲突,同时保持了爷爷节点处所在子树黑高度不变,然而爷爷节点变为红色,爷爷节点处可能与太爷爷节点处的红色发生冲突,问题转移到爷爷节点处。
在情况1中最后就是把问题进行了缩小,原先要处理孙子节点以上的红黑树冲突,现在只需要处理爷爷节点以上的冲突了。
情况2:叔叔节点为黑色,这时候我们首先要考虑孙子节点是父节点的左子节点还是右子节点,现在我们假设是右节点,这样我们对父节点进行一个左旋操作,这样父节点变为孙子节点,孙子节点变为父节点,实际上此时孙子节点为父节点的左子节点,该情况被我们转化为情况3.
在情况2中我们使用的思想是通过将一种情况转移为另一种情况,来减少情况。
情况3:叔叔节点为黑色,孙子节点为父节点左子节点,这时,我们把爷爷节点的黑色与父节点的红色调换,这样父节点所在子树黑高度比叔叔节点所在黑高度多1,我们对爷爷节点使用一个右旋操作,这样父节点黑高度减1,叔叔节点黑高度不变,红黑性质修复完成。
这里只是举了红黑树插入操作的例子来说明算法证明,实际上算法导论中大部分算法都可以用这几个简单的想法(分类讨论,情况转移,数学归纳证明)进行解释和证明。
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原文地址:http://www.cnblogs.com/zhangfann/p/4355389.html