最大子串问题是一类经典问题，即在一串整形数组中选取和最大的子串
给出问题描述：
对于一个包含负值的数字串array[1...n]，要找到他的一个子串array[i...j]（0<=i<=j<=n），使得在array的所有子串中，array[i...j]的和最大。
针对本问题，可有三种方法，一种是暴利破解枚举算法，所有子串种类共有n+(n-1)+(n-2)+.....+1=n(n+1)/2个算法复杂度为o(n^2)，然后找出最大的
这里我们需要注意子串和子序列之间的区别。子串是指数组中连续的若干个元素，而子序列只要求各元素的顺序与其在数组中一致，而没有连续的要求。对于一个元素数为n的数组，其含有2^n个子序列和n(n+1)/2个子串。如果使用穷举法，则至少需要O(n^2)的时间才能得到答案。卡耐基梅隆大学的Jay Kadane的给出了一个线性时间算法，我们就来看看，如何在线性时间内解决最大子串和问题。
要说明Kadane算法的正确性，需要两个结论。首先，对于array[1...n]，如果array[i...j]就是满足和最大的子串，那么对于任何k(i<=k<=j)，我们有array[i...k]的和大于0。因为如果存在k使得array[i...k]的和小于0，那么我们就有array[k+1...j]的和大于array[i...j]，这与我们假设的array[i...j]就是array中和最大子串矛盾。
其次，我们可以将数组从左到右分割为若干子串，使得除了最后一个子串之外，其余子串的各元素之和小于0，且对于所有子串array[i...j]和任意k（i<=k<j），有array[i...k]的和大于0。此时我们要说明的是，满足条件的和最大子串，只能是上述某个子串的前缀，而不可能跨越多个子串。我们假设array[p...q]，是array的和最大子串，且array[p...q]，跨越了array[i...j]，array[j+1...k]。根据我们的分组方式，存在i<=m<j使得array[i...m]的和是array[i...j]中的最大值，存在j+1<=n<k使得array[j+1...n]的和是array[j+1...k]的最大值。由于array[m+1...j]使得array[i...j]的和小于0。此时我们可以比较array[i...m]和array[j+1...n]，如果array[i...m]的和大于array[j+1...n]则array[i...m]>array[p...q]，否array[j+1...n]>array[p...q]，无论谁大，我们都可以找到比array[p...q]和更大的子串，这与我们的假设矛盾，所以满足条件的array[p...q]不可能跨越两个子串。对于跨越更多子串的情况，由于各子串的和均为负值，所以同样可以证明存在和更大的非跨越子串的存在。对于单元素和最大的特例，该结论也适用。
根据上述结论，我们就得到了Kadane算法的执行流程，从头到尾遍历目标数组，将数组分割为满足上述条件的子串，同时得到各子串的最大前缀和，然后比较各子串的最大前缀和，得到最终答案。我们以array={?2, 1, ?3, 4, ?1, 2, 1, ?5, 4}为例，来简单说明一下算法步骤。通过遍历，可以将数组分割为如下3个子串（-2），（1，-3），（4，-1，2，1，-5，4），这里对于（-2）这样的情况，单独分为一组。各子串的最大前缀和为-2，1，6，所以目标串的最大子串和为6。
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PAT：1007Maximum Subsequence Sum
源码：
#include <iostream>
using namespace std;
int arrs[10001];
int Kadane(const int array[], size_t length, int& left, int& right)
{
int i, cur_left, cur_right;
int cur_max, max;
cur_max = max = left = right = cur_left = cur_right = 0;
max=-1;
for(i = 0; i < length; ++i)
{
cur_max += array[i];
if(cur_max > 0)
{
cur_right = i;
if(max < cur_max)
{
max = cur_max;
left = cur_left;
right = cur_right;
}
}
else
{
cur_max = 0;
cur_left = cur_right = i + 1;
}
}
return max;
}
int main(void)
{
bool negative=false;
int n;
int left,right,maxs=-1;
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++)
{
cin>>arrs[i];
maxs=max(maxs,arrs[i]);
}
if(maxs==0)
{
/*此部分存在的问题是全都是负数，存在一个为0*/
cout<<0<<" "<<0<<" "<<0;
return 0;
}
int sums=Kadane(arrs,n,left,right);
if(sums>=0)
cout<<sums<<" "<<arrs[left]<<" "<<arrs[right];
else
cout<<0<<" "<<arrs[0]<<" "<<arrs[n-1];
return 0;
}原文地址：http://blog.csdn.net/u011889952/article/details/44754471
