给定一个数组A[0,1,…,n-1]，求A的连续子数组，使得该子数组的和最大。
例如:
数组：1，-2,3,10，-4,7,2，-5
最大字数组：3,10，-4,7,2
此问题有以下四种方法
1、 暴力法
2、 分治法
3、 分析法
4、 动态规划法
直接求解A[I,…j]的值，其中，0<=i<n，i<=j<n，因为i,i+1,…j的最大长度为n，所以时间复杂度O(n3)。
//暴力法
int MaxSubArray(int *a, int n)
{
int maxSum = a[0];
int curSum;
for(int i=0; i<n; ++i)
{
for(int j=i; j<n; ++j)
{
curSum = 0;
for(int k=i; k<=j; ++k)
{
curSum+=a[k];
}
if(curSum>maxSum)
maxSum = curSum;
}
}
return maxSum;
}将数组从中间分开，那么最大子数组要么完全在左半边数组，要么完全在右半边数组，要么跨立在分界点上。
完全在左数组、右数组，递归可以解决
跨立在分界点上：实际上是左数组的最大后缀和右数组的最大前缀的和。因此，从分界点向前扫，向后扫即可。
//分治法
int maxAddSub(int *a, int from, int to)
{
if(from==to)
return a[from];
int mid = (from + to) / 2;
int m1 = maxAddSub(a,from,mid);
int m2 = maxAddSub(a,mid+1,to);
int now = a[mid], left = a[mid];
int i;
for(i=mid-1; i>=from; --i)
{
now+=a[i];
left = max(now,left);
}
int right = a[mid+1];
now = a[mid+1];
for(i=mid+2; i<=to; ++i)
{
now+=a[i];
right = max(now,right);
}
int m3 = left + right;
return max(max(m1,m2),m3);
}
设前缀和p[i]=a[0]+a[1]+a[2]+...+a[i]
s[i,j]=p[j]-p[i-1]，表示从数组第i个位置到第j个位置的元素和
算法过程：
遍历一遍数组，求前缀p[i]，0<=i<n，p[i]=p[i-1]+a[i]
再遍历一遍，找到最小的前缀p[i]，赋值给min
再遍历一遍各前缀，令p[i]-min最大，即是以a[i]结尾的数组中最大的子数组
因为该过程都是线性的，所以时间复杂度为O(N)
//分析法
int maxAddSub(int *a, int n)
{
vector<int> p;
p.push_back(a[0]);
int i;
for(i=1; i<n; ++i)
p.push_back(a[i]+p[i-1]);
int min = 0;
for(i=0; i<n; ++i)
if(p[i]< min)
min = p[i];
int max = 0;
for(i=0; i<n; ++i)
if(p[i]-min > max)
max = p[i]-min;
return max;
}//动态规划
int MaxSubArray_dynamic(int *a, int n)
{
int result = a[0];
int sum = a[0];
for(int i=0; i<n; ++i)
{
if(sum>0)
sum+=a[i];
else
sum = a[i];
if(sum > result)
result = sum;
}
return result;
}// Maximum continuous word groups.cpp : Defines the entry point for the console application.
//
#include "stdafx.h"
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
//暴力法
int MaxSubArray(int *a, int n)
{
int maxSum = a[0];
int curSum;
for(int i=0; i<n; ++i)
{
for(int j=i; j<n; ++j)
{
curSum = 0;
for(int k=i; k<=j; ++k)
{
curSum+=a[k];
}
if(curSum>maxSum)
maxSum = curSum;
}
}
return maxSum;
}
int max(int a, int b)
{
return a>b ? a : b;
}
//分治法
int maxAddSub(int *a, int from, int to)
{
if(from==to)
return a[from];
int mid = (from + to) / 2;
int m1 = maxAddSub(a,from,mid);
int m2 = maxAddSub(a,mid+1,to);
int now = a[mid], left = a[mid];
int i;
for(i=mid-1; i>=from; --i)
{
now+=a[i];
left = max(now,left);
}
int right = a[mid+1];
now = a[mid+1];
for(i=mid+2; i<=to; ++i)
{
now+=a[i];
right = max(now,right);
}
int m3 = left + right;
return max(max(m1,m2),m3);
}
//分析法
int maxAddSub(int *a, int n)
{
vector<int> p;
p.push_back(a[0]);
int i;
for(i=1; i<n; ++i)
p.push_back(a[i]+p[i-1]);
int min = 0;
for(i=0; i<n; ++i)
if(p[i]< min)
min = p[i];
int max = 0;
for(i=0; i<n; ++i)
if(p[i]-min > max)
max = p[i]-min;
return max;
}
//动态规划
int MaxSubArray_dynamic(int *a, int n)
{
int result = a[0];
int sum = a[0];
for(int i=0; i<n; ++i)
{
if(sum>0)
sum+=a[i];
else
sum = a[i];
if(sum > result)
result = sum;
}
return result;
}
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
int a[] = {1,-2,3,10,-4,7,2,-5};
int size = sizeof(a)/sizeof(a[0]);
double duration;
cout<<MaxSubArray(a,size)<<endl;
cout<<maxAddSub(a,0,size)<<endl;
cout<<maxAddSub(a,size)<<endl;
cout<<MaxSubArray_dynamic(a,size)<<endl;
return 0;
}原文地址：http://blog.csdn.net/dream_whui/article/details/44944949
