算法交作业之最大子序列问题

最近看《数据结构与算法分析》一书，书中提供的一些算法太棒了，忍不住动手实现了下。有错误请指出，谢谢。

最大子序列问题求解：

1.第一种解法：

int MaxSubSequence(const int array[], int length){
    if (length < 0) //数组长度不可以为0.
        return 0;
    int  MaxSum = 0,ThisSum;
    for (int i = 0; i < length; ++i){
        for (int j = i; j < length; ++j){
            ThisSum=0;
            for (int k = i; k < j + 1; ++k){
                ThisSum += array[k];
                if (ThisSum>MaxSum)
                    MaxSum = ThisSum;
            }
        }
    }
    return MaxSum;
}

/*时间复杂度为O(N3),不是很完美的算法。但是想法很简单。
假设有序列A0,A1,A2......AN-1。既然要求最大子序列。那么最笨的方法就是依次求出A0,A0+A1....A0+...AN-1......AN-1.通过枚举就可以求出。但是交给计算机实现就可以用循环实现了。*/

２.优化解法一：

int MaxSubSequence(const int array[], int length){
    if (length < 0) //数组长度不可以为0.
        return 0;
    int ThisSum, MaxSum = 0;
    for (int i = 0; i < length; ++i){
        ThisSum = 0;//注意
        for (int j = i; j < length; ++j){
                ThisSum += array[j];
                if (ThisSum>MaxSum)
                    MaxSum = ThisSum;
        }
    }
    return MaxSum;
}
/*可以看到对比上面我们少了一层循环，现在的时间复杂度就变成了O(N2),提升不少。

3.优化解法二：

//递归版本.首先确定基准情况。
int Max_numbers(int number1, int number2, int number3){
    if (number1 < number2)
        number1 = number2;
    return (number1>number3) ? number1 : number3;
}
int MaxSub(const int array[], int left,int right){
    if (right == left)
        if (array[left] > 0)
            return array[left];
        else
            return 0;
    int center = (right+left)/2;
    int LeftMax = 0, RightMax=0;
    LeftMax=MaxSub(array, left, center);
    RightMax=MaxSub(array, center + 1, right);
    int LeftBorderSum = 0, RightBorderSum = 0;
    int LeftMaxSum = 0, RightMaxSum = 0;
    for (int i = center; i >= left; --i){
        LeftBorderSum += array[i];
        if (LeftBorderSum > LeftMaxSum)
            LeftMaxSum = LeftBorderSum;
    }
    for (int i = center + 1; i < right + 1; ++i){
        RightBorderSum += array[i];
        if (RightBorderSum>RightMaxSum)
            RightMaxSum = RightBorderSum;
    }
    return Max_numbers(LeftMax, RightMax, LeftMaxSum + RightMaxSum);
}
int MaxSubSequence(const int array[], int length){
    if(length <0)
        return 0;
    return MaxSub(array, 0, length - 1);
}
/*这个算法太精妙了。反正我承认我是想不出如此使用递归。简单的分析下递归的用法，具体的可以去翻书。对于这个最大子序列问题，最大子序列可能出现在前面部分，后面部分，以及中间部分（包括前面部分的最后一个元素，后面部分的第一个元素）。然后这样分析下差不多就能理清代码轮廓了，具体的还是自己慢慢钻研。时间复杂度为O（NlogN),对比上面又优化了一下，但是付出了相应的代价，代码不好读了。

最后一种优化方法：

int MaxSubSequence(const int array[], int length){
    if (length < 0)
        return 0;
    int ThisSum=0, MaxSum = 0;
    for (int i = 0; i < length; ++i){
        ThisSum += array[i];
        if (ThisSum>MaxSum)
            MaxSum = ThisSum;
        else if (ThisSum < 0)
            ThisSum = 0;
    }
    return MaxSum;
}
/*这个算法更精妙了。复杂度和代码可读性控制都比较完美，书上称之为联机算法。算法的思想比较精妙，省去了前面算法中很多无效的步骤。比如算法中有一个判断thissum<0的条件。试想一下最大子序列的第一个数一定是不可能是复数的，所以直接把thissum设置为0。
举个例子：-1，2，-3，4，5，6，-1；
按照最前面的两个算法，肯定是先计算 -1；-1+2；-1+2+-3；但是最后一个算法直接把-1剔除了，直接从2；2+-3...开始算起，是不是节省了大量时间。重点是把握住性质。

ps:其实上述的函数传入参数还可以进行优化，可以参看前面的博文。等有空会写一下。
测试：

#include <iostream>
#include <assert.h>
/*int MaxSubSequence(const int array[], int length){
    if (length < 0) //数组长度不可以为0.
        return 0;
    int  MaxSum = 0,ThisSum;
    for (int i = 0; i < length; ++i){
        for (int j = i; j < length; ++j){
            ThisSum=0;
            for (int k = i; k < j + 1; ++k){
                ThisSum += array[k];
                if (ThisSum>MaxSum)
                    MaxSum = ThisSum;
            }
        }
    }
    return MaxSum;
}*/
/*int MaxSubSequence(const int array[], int length){
    if (length < 0) //数组长度不可以为0.
        return 0;
    int ThisSum, MaxSum = 0;
    for (int i = 0; i < length; ++i){
        ThisSum = 0;
        for (int j = i; j < length; ++j){
                ThisSum += array[j];
                if (ThisSum>MaxSum)
                    MaxSum = ThisSum;
        }
    }
    return MaxSum;
}*/
//递归版本.首先确定基准情况。
/*
int Max_numbers(int number1, int number2, int number3){
    if (number1 < number2)
        number1 = number2;
    return (number1>number3) ? number1 : number3;
}
int MaxSub(const int array[], int left,int right){
    if (right == left)
        if (array[left] > 0)
            return array[left];
        else
            return 0;
    int center = (right+left)/2;
    int LeftMax = 0, RightMax=0;
    LeftMax=MaxSub(array, left, center);
    RightMax=MaxSub(array, center + 1, right);
    int LeftBorderSum = 0, RightBorderSum = 0;
    int LeftMaxSum = 0, RightMaxSum = 0;
    for (int i = center; i >= left; --i){
        LeftBorderSum += array[i];
        if (LeftBorderSum > LeftMaxSum)
            LeftMaxSum = LeftBorderSum;
    }
    for (int i = center + 1; i < right + 1; ++i){
        RightBorderSum += array[i];
        if (RightBorderSum>RightMaxSum)
            RightMaxSum = RightBorderSum;
    }
    return Max_numbers(LeftMax, RightMax, LeftMaxSum + RightMaxSum);
}
int MaxSubSequence(const int array[], int length){
    if(length <0)
        return 0;
    return MaxSub(array, 0, length - 1);
}*/
//最后一个解法：
int MaxSubSequence(const int array[], int length){
    if (length < 0)
        return 0;
    int ThisSum=0, MaxSum = 0;
    for (int i = 0; i < length; ++i){
        ThisSum += array[i];
        if (ThisSum>MaxSum)
            MaxSum = ThisSum;
        else if (ThisSum < 0)
            ThisSum = 0;
    }
    return MaxSum;
}
int main(){
    int arr_1[8] = {4,-3,5,-2,-1,2,6,-2};
    std::cout<<MaxSubSequence(arr_1,8);
    system("pause");
    return 0;
}