快速幂算法（Fast exponentiation algorithm）

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对于算式aⁿ，其基本运算的时间复杂度为O(n)。快速幂能将计算的复杂度降至O(log₂n)。

Step 1.

　　将n拆分成二进制形式的加法：

　　n = (2^j-1 × k_j) + (2^j-2 × k_j-1) + ... + (2¹ × k₂) + (2⁰ × k₁)

　　其中，k_j 为n的第j位上的数字，显然 k_j = 0, 1, 2, ..., 9.

Step 2.

　　于是，aⁿ = a^2j-1×k_j  +  a^2j-2×k_j-1  +  ...  +  a^21×k₂  +  a^20×k₁

　　　　　    = (a2j-1)kj +  (a2j-2)kj-1  +  ...  +  (a21)k2  +  (a20)k1.

Step 3.

　　由于 a^2j-1 = a^2j-2 × a^2j-2， 利用递推关系可以很快求出 a²⁰ 至 a^2j-1 各项，时间复杂度为O(log₂n)。

Step 4.

　　最后，运算出 (a^2j-1)^k_j  各项，并将它们相加得出aⁿ，此步骤的时间复杂度也为O(log₂n)。

Summary.

　　此算法总体的时间复杂度为O(log₂n)。故当n的值较大时，此算法比普通算法要快很多。

Applicaiton.

　　各类幂运算，包括实数幂、矩阵幂(Matrix exponential)等等。

2015-04-12 m.Just

快速幂算法（Fast exponentiation algorithm）

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原文地址：http://www.cnblogs.com/mjust/p/4419519.html