机器学习实战ByMatlab（三）K-means算法

K-means算法属于无监督学习聚类算法，其计算步骤还是挺简单的，思想也挺容易理解，而且还可以在思想中体会到EM算法的思想。

K-means 算法的优缺点：

1.优点：容易实现
2.缺点：可能收敛到局部最小值，在大规模数据集上收敛较慢

使用数据类型：数值型数据

以往的回归算法、朴素贝叶斯、SVM等都是有类别标签y的，因此属于有监督学习，而K-means聚类算法只有x，没有y

在聚类问题中，我们的训练样本是

其中每个Xi都是n维实数。

样本数据中没有了y，K-means算法是将样本聚类成k个簇，具体算法如下：
1、随机选取K个聚类质心点，记为

2、重复以下过程直到收敛

{
对每个样例 i ，计算其应该属于的类：

对每个类 j ，重新计算质心：

}

其中K是我们事先给定的聚类数目，Ci 表示样本 i 与K个聚类中最近的那个类，Ci的值是1到K中的一个，质心uj代表我们对属于同一个类的样本中心的猜测。解释起来就是，

第一步：天空上的我们随机抽取K个星星作为星团的质心，然后对于每一个星星 i，我们计算它到每一个质心uj的距离，选取其中距离最短的星团作为Ci，这样第一步每个星星都有了自己所属于的星团；

第二步：对每个星团Ci，我们重新计算它的质心uj（计算方法为对属于该星团的所有点的坐标求平均）不断重复第一步和第二步直到质心变化很小或者是不变。

然后问题来了，怎么样才算质心变化很小或者是不变？或者说怎么判定？答案就是畸变函数（distortion function），定义如下：

J函数表示每个样本点到其质心的距离平方和，K-means的收敛就是要将 J 调整到最小，假设当前 J 值没有达到最小值，那么可以先固定每个类的质心 uj ，调整每个样例的类别 Ci 来时 J 函数减少。同样，固定 Ci ，调整每个类的质心 uj也可以是 J 减少。这两个过程就是内循环中使 J 单调变小的过程。当 J 减小到最小的时候， u 和 c 也同时收敛。（该过程跟EM算法其实还是挺像的）理论上可能出现多组 u 和 c 使 J 取得最小值，但这种情况实际上很少见。

由于畸变函数 J 是非凸函数，所以我们不能保证取得的最小值一定是全局最小值，这说明k-means算法质心的初始位置的选取会影响到最后最小值的获取。不过一般情况下，k-means算法达到的局部最优已经满足要求。如果不幸代码陷入局部最优，我们可以选取不同的初始值跑多几遍 k-means 算法，然后选取其中最小的 J 对应的 u 和 c 输出。

另一种收敛判断：

实际我们编写代码的时候，还可以通过判断“每个点被分配的质心是否改变”这个条件来判断聚类是否已经收敛

而上面所说的畸变函数则可以用来评估收敛的效果，具体将会在下面的实例中体现。

Matlab 实现

function kMeans
clc
clear
K = 4;
dataSet = load(‘testSet.txt‘);
[row,col] = size(dataSet);
% 存储质心矩阵
centSet = zeros(K,col);
% 随机初始化质心
for i= 1:col
    minV = min(dataSet(:,i));
    rangV = max(dataSet(:,i)) - minV;
    centSet(:,i) = repmat(minV,[K,1]) + rangV*rand(K,1);
end

% 用于存储每个点被分配的cluster以及到质心的距离
clusterAssment = zeros(row,2);
clusterChange = true;
while clusterChange
    clusterChange = false;
    % 计算每个点应该被分配的cluster
    for i = 1:row
        % 这部分可能可以优化
        minDist = 10000;
        minIndex = 0;
        for j = 1:K
            distCal = distEclud(dataSet(i,:) , centSet(j,:));
            if (distCal < minDist)
                minDist = distCal;
                minIndex = j;
            end
        end
        if minIndex ~= clusterAssment(i,1)            
            clusterChange = true;
        end
        clusterAssment(i,1) = minIndex;
        clusterAssment(i,2) = minDist;
    end

    % 更新每个cluster 的质心
    for j = 1:K
        simpleCluster = find(clusterAssment(:,1) == j);
        centSet(j,:) = mean(dataSet(simpleCluster‘,:));
    end

end
figure
%scatter(dataSet(:,1),dataSet(:,2),5)
for i = 1:K
    pointCluster = find(clusterAssment(:,1) == i);
    scatter(dataSet(pointCluster,1),dataSet(pointCluster,2),5)
    hold on
end
%hold on
scatter(centSet(:,1),centSet(:,2),300,‘+‘)
hold off

end

% 计算欧式距离
function dist = distEclud(vecA,vecB)
    dist  = sqrt(sum(power((vecA-vecB),2)));
end

效果如下：

这是正常分类的情况，很明显被分为了4个类，不同颜色代表不同的类，cluster的质心为 “ + ”

当然，这只是其中一种情况，很有可能我们会出现下面这种情况：

这就是上面所说的，K-means的缺点之一，随机初始点的选择可能会让算法陷入局部最优解，这时候我们只需重新运行一次程序即可。

至于每一个看似都可以正常聚类的情况呢，我们则利用上面所说的“畸变函数”来衡量聚类的效果，当然是J越小聚类效果越好。

实际使用的时候，我们只需多次运行程序，选取J最小的聚类效果。