[Python] 机器学习库 Scikit-learn之SVM

0. SVM简介

SVM是最常用的分类器之一，其可以用来做分类，回归以及异常检测。
其模型定义和学习如下：
原始问题:

$\min_ {w, b, \zeta} \frac{1}{2} w^T w + C \sum_{i=1}^{n} \zeta_i$

$\textrm {subject to } y_i (w^T \phi (x_i) + b) \geq 1 - \zeta_i, \\ $

$\zeta_i \geq 0, i=1, ..., n$

对偶问题：

$\min_{\alpha} \frac{1}{2} \alpha^T Q \alpha - e^T \alpha$

subject to $y^T \alpha = 0$

$0 \leq \alpha_i \leq C, i=1, ..., n$

决策函数：

$\operatorname{sgn}(\sum_{i=1}^n y_i \alpha_i K(x_i, x) + \rho)$

其中 $e$ 是全为1的向量, $C > 0$ 是上边界, $Q$ 是 $n$ $\times$ $n$ 半正定矩阵, $Q_{ij} \equiv K(x_i, x_j) = \phi (x_i)^T \phi (x_j)$ 是核， 训练数据通过 $\phi$被映射到高纬空间中.

svm的优点：

1. 在高纬空间的有效性。
2. 在特征维度高于样本维度的情况下，依然有效。
3. 它的决策函数只使用训练数据的一部分，通常把这一部分数据称之为支持向量，所以它是比较节省内存的。
4. 可以提供各种各样的核函数来扩展SVM的功能。

SVM的缺点：

1. 如果特征的维度远大于样本的数目，那么性能将大大的降低。
2. SVM不直接提供概率估计。

1. SVM用来做分类：

SVC, NuSVC，LinearSVC

这三类都能用来做多类分类，SVC 和 NuSVC 类似，但是在一些参数上有所不同，LinearSVC 则是另外一种svm的实现，它是线性核。

输入：

SVC, NuSVC 和LinearSVC的输入训练数据：[n_samples, n_features] ，标签数据：[n_samples]，标签可以是整数或者是字符串都可以。

#训练svm：
>>> from sklearn import svm
>>> X = [[0, 0], [1, 1]]
>>> y = [0, 1]
>>> clf = svm.SVC()
>>> clf.fit(X, y) `
#测试svm`
>>> clf.predict([[2., 2.]

成员变量：

因为svm模型只需要用到训练数据中的一部分，也就是支持向量的部分。
support_vectors_：存放模型的支持向量。
support_ ：存放模型的支持向量的索引。
n_support: 存放模型每一类的支持向量的数目。

多类分类

原始的svm只能支持二类的分类，而多类分类是通过多次二分类来实现的，具体有两种方式，即一对一和一对多两种方式。
SVC 和 NuSVC是采用一对一的方式，如果 n_class 是总的类别的数目，那么共需要训练n_class * (n_class - 1) / 2 个不同的二分类器。

#获取分类器的数目：
X = [[0], [1], [2], [3]]
Y = [0, 1, 2, 3]
clf = svm.SVC()
clf.fit(X, Y)
dec = clf.decision_function([[1]])
print dec.shape[1]

不同的是， LinearSVC 是采用一对多的方式来进行多分类，具体来说，有 n_class 个类别就训练n_class 个分类器，显然，在了类别数目比较多的情况下，这样更节省空间和时间。

不平衡数据：

SVC实现了不平衡训练数据集上的处理，通过设置class_weight参数来给每个类别设置不同的权重，具体的使用还得看文档。

2. SVM用来做回归

SVM分类器可以很自然的被扩展用来做回归，被称之为支持向量回归。
SVR跟SVC一样，模型只考虑支持向量的数据，那些原理分界边际的点将被忽视。
跟SVC类似，其也有三个类来显示它，对应的是： SVR, NuSVR ， LinearSVR，

>>> from sklearn import svm
>>> X = [[0, 0], [2, 2]]
>>> y = [0.5, 2.5]
>>> clf = svm.SVR()
>>> clf.fit(X, y) 
SVR(C=1.0, cache_size=200, coef0=0.0, degree=3, epsilon=0.1, gamma=0.0,
    kernel=‘rbf‘, max_iter=-1, shrinking=True, tol=0.001, verbose=False)
>>> clf.predict([[1, 1]])
array([ 1.5])

3. 密度估计，异常检测

类别：OneClassSVM 来实现异常检测，这是一种无监督的方法，它的训练数据只需要$X$,而无需$Y$。

4. 复杂度分析

SVM是一个二次规划问题（QP问题），其实重训练数据集合中分离出支持向量的数据点，在基于libsvm的实现中，其复杂度介于： $O(n_{features} \times n_{samples}^2)$ 和 $O(n_{features} \times n_{samples}^3)$ 之间。

5. 核函数

? 线性核: $\langle x, x‘\rangle$.

? 多项式核: $(\gamma \langle x, x‘\rangle + r)^d$. $d$ is specified by keyword degree, r by coef0.

? rbf: $\exp(-\gamma |x-x‘|^2)$. $\gamma$ is specified by keyword gamma, must be greater than 0.

? sigmoid $(\tanh(\gamma \langle x,x‘\rangle + r))$, where $r$ is specified by coef0.

linear_svc = svm.SVC(kernel=‘linear‘)
linear_svc.kernel
‘linear‘
rbf_svc = svm.SVC(kernel=‘rbf‘)
rbf_svc.kernel
‘rbf‘

参考文献：Scikit文档