二分算法总结

二分算法由于其复杂度为O(logN)，在实际运算中具有极高的效率。二分算法思想还经常结合其它算法被应用在解决实际项目问题中。例如，对非线性方程求根。

二分算法的思想简单，但编写正确却并不容易。编写二分算法的错误，往往不是因为疏忽错误，而是因为该算法过于灵活却暗藏杀机。轻则程序崩溃，机器停止；重则可能引起致命的损失。

下面先给出错误程序，及样例分析。

错误1：

int bsearch(int *a, int x, int y, int v) {
    int m
    while (x < y) {
        int m = x + (y - x) / 2;
        if (v == a[m])
            return m;
        else if (a[m] > v)
            y = m;
        else
            x = m;
    }
    return -1;
}

假设x = 2，y = 3，a[3] == v。这时候程序将进入死循环，因为m经过运算始终等于2；a[2] < v始终进行x = m；所以x始终小于y。

错误2：

int bsearch(int *a, int x, int y, int v) {
    int m
    while (x < y) {
        int m = x + (y - x) / 2;
        if (v == a[m])
            return m;
        else if (a[m] > v)
            y = m-1;
        else
            x = m+1;
    }
    return -1;
}

假设x = 0，y = 4，a[1] == v。这时候程序将返回-1，而不是1。经过运算m == 2，又因为a[2] > v，所以执行y = m-1。这时候y = 1，循环重新开始，运算后m == 0，经过下面判断语句得到x == 1，这时候循环跳出，忽略了m == 1情况，最后结果错误。
针对错误1的正确程序应该为：

int bsearch(int *a, int x, int y, int v) {  int m
    while (x < y) {
        int m = x + (y - x) / 2;
        if (v == a[m])
            return m;
        else if (a[m] > v)
            y = m;
        else
            x = m + 1;
    }
    return -1; 
}

这里之所以将x = m+1，而不是y = m-1，是因为相邻整数x,y经过m = x + (y + x)/2运算后都是得到的m值总是趋于最小值。例如，x = 2，y = 3，最后得到m == 2。
针对错误2的正确程序应该为：

int bsearch(int *a, int x, int y, int v) {
    int m
    while (x <= y) {
        int m = x + (y - x) / 2;
        if (v == a[m])
            return m;
        else if (a[m] > v)
            y = m - 1;
        else
            x = m + 1;
    }
    return -1;
}

鉴于上面错误2情况，将x < y修改为x <= y后，当x == 1、y == 1时候循环并不会结束，而是继续进行运算得到m == 1的情况，这时候可返回正确解。