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这题有点恶心，好多东西堆一起。刚开始看出来实质就是SG，于是很开心的敲了，然后发现统计GCD很烦，推了半天以为推出来了，写完后到最后一步，只想到暴力遍历。提交后TLE，倒回来想树上任意路径权值和的问题，这不是裸的树分治么，以前一眼能看出来的。只是最后再加个树分治略恶心。第二天早上突然发觉，统计GCD值的地方，实际上是n^2.5的，脑残了，复杂度都算不准了。问题实质就是：
∑(n,i=1)∑(m,j=1)gcd(i,j)=∑(n,i=1)∑(m,j=1)∑(d|i&d|j)?(d)=∑(min(n,m),d=1)?(d)⋅n/d⋅m/d
这里不能插入公式，把∑的上下界用括号括起来了，实质就是求(1~n)和(1~m)范围内的任意i和j的最大公约数之和。可以预处理，值的范围为10^4，给10^4个这种查询，要求sqrt(n)的复杂度内求解一次查询。
首先一个变换为gcd(i,j)=∑(d|i&d|j)?(d)，就是i,j的最大公约数为他两的所有约数的欧拉函数值之和。这样就不用去重、容斥什么的了。然后对于每个约数d在(1,n)范围内的数中有n/d个包含约数d，同理(1,m)中有m/d个，所以得到上面那个式子。
最后问题就变成∑(min(n,m),d=1)?(d)⋅n/d⋅m/d了。因为n/d和m/d的结果最多有sqrt(n)级别的不同的值，所以可以处理出这些值，得到对应的区间段，对于n/d的有sqrt(n)段，m/d有sqrt(m)段，将他们两的区间段合并最多有sqrt(n)+sqrt(m)段，对于每段中的值x，n/x的值的一样的，m/x的值也是一样的，
所以可以统一求解，预处理?(d)的前缀和，一次查询复杂度为sqrt(n)级别。
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原文地址：http://www.cnblogs.com/seen1020/p/4493792.html
