【数据结构】拓扑排序、最短路径算法、Dijkstra算法、无环图等等

图的定义

图（graph）G = （V，E）由顶点（vertex）的集V和边（Edge）的集E组成。有时也把边称作弧（arc），如果点对（v，w）是有序的，那么图就叫做有向的图（有向图）。顶点v和w邻接（adjacent）当且仅当（v，w）属于E。

如果无向图中从每一个顶点到其他每个顶点都存在一条路径，则称该无向图是连通的（connected）。具有这样性质的有向图称为是强连通的（strongly connected）。如果有向图不是强连通的，但它的基础图（underlying graph）（也就是其弧上去掉方向说形成的图）是连通的，那么称该有向图是弱连通的（weakly connected）。完全图（complete graph）是其每一对顶点间都存在一条边的图。

如下表示了一个有着7个顶点和12条边的有向图。

拓扑排序

拓扑排序（topological sort）是对有向无环图的顶点的一种排序，它使得如果存在一条从vi到vj的路径，那么在排序中vj出现在vi的后面。正是由于这个特性，如果图含有回路，那么拓扑排序是不可能的。

求拓扑排序算法的一种简单方式：选中一个没有入边的顶点，显示出该点，并将它和它的边一起从图中删除，然后对图的其余部分应用同样的方法处理。

所谓入度（indegree）是指的顶点v的边（u，v）的条数。假设每一个顶点的入度被存储且图被读入一个邻接表中，下面的代码则可以生成一个拓扑排序。

对上图应用拓扑排序的结果如下：

最短路径算法

单源最短路径问题：给定一个加权图G=（V，E）和一个特定顶点s作为输入，找出从s到G中每一个其他点的最短加权路径。

如下图所示，从v1到v6的最短加权路径的值为6（v1-v4-v7-v6），从v2到v5的最短加权路径的值为5（v2-v4-v5）。

下面这个图从v5到v4的最短加权路径可就有意思了，它是1么？不是。按照v5-v4-v2-v5-v4的路径走则是一条更短的路径了，因为这是带负值回路的图。而由于带负值而引入的循环，这个循环叫做负值回路（negative-cost cycle），当它出现在图中时，最短路径问题就是不确定的了。有负值的边未必不好，但它们明显使问题更加难了。

当未指明所讨论的是加权路径还是无权路径时，如果图是加权的，那么路径就是加权的。

广度优先搜索

请先忽视下图中所有的下标，让我们从头开始。随意选择一个点，此处选择v3，作为切入点。因此到v3的距离为0。从v3出发，距离为1的结点是v1和v6；继续下一步，v6已经无路可走，而与v1距离为1的是v2和v4，因此对它们标记上2；继续下去，v2和v4走一步都可以到v5，v4走一步可以到v7，因此v5和v7被标记为3。至此搜索便结束了。

这就是广度优先搜索（breadth-first search），该方法按层处理顶点。距起始点最近的那些顶点首先被求值，最远点则最后被求值，这很像对树的层序遍历（level-order traversal）。

Dijkstra算法

前面的广度优先搜索中的图是无权图，而如果一旦变成了加权图，那么问题就变得困难起来了。

对于每个顶点，我们标记为known以及unknown，和上面一样，还得有一个距离的dv。与无权最短路径一样，Dijkstra算法也是按阶段进行，在每个阶段选择一个顶点v，它在所有unknown顶点中具有最小的dv，同时算法声明从s到v的最短路径是known的。然后紧接着，不断的进行下去即可。

那么这个算法到底是怎么回事了？请看下图。

图中已经对权重做好了标记，以v1作为切入点，因此初始情况如下左图。

v1此时已经是known的了，而其有2个邻接点v2和v4，因此可以调整为如下右图。正无穷图标标识没有连通。pv表示前一个邻接点。

毫无疑问这里会接下来走到v4去，因为v4的权重为1比v2的权重为2要小。调整为如下左图。

可能你已经看到了上图中的右图而好奇为什么下一步是v2，但是v4根本不能走到v2。因为v4能够走到的，比如v3，权重从v1开始一共是3，这比从v1到v2还要大。于是就跳转回到了v2。

下一步便走到了v5，因为只有值为3的权重，同样的v3也是，于是它们俩被双双标记为known。如下左图所示。

紧接着走到了v7，同时v6下调到了5+1=6得到了如下右图。至于为什么要做这个调整，是因为此时v1到v7的加权为1+4=5，而v7到v6的加权为1，所以就有了这个调整。

最后便顺势走到了v6完成了整个Dijkstra算法，它们都已被标记为known。

在后面还将会有一种斐波那契堆，针对Dijkstra算法做了优化，欢迎大家的继续关注。

具有负边值得图

而如果一个图具有负的边值，那么Dijkstra算法就行不通了。这是因为一个顶点u被声明为known后，那就可能从某个另外的unknown顶点v有一条回到u的负的路径。而“回到”就意味着循环，前面的例子中我们已经知道了循环是多么的……

问题并非没有解决的办法，如果我们有一个常数X，将其加到每一条边的值上，这样除去负的边，再计算新图的最短路径，最后把结果应用到原图上。然后这个解决方案也是布满了荆棘，因为居多许多条边的路径变得比那些具有很少边的路径权重更重了。如果我们将s放到队列中，然后再每一个阶段让一个顶点v出队，找出所有与v邻接的顶点w，使得dw>dv+cvw，然后更新到dw和pw，并在w不在队列中时将它放到队列中，可以为每一个顶点设置一个位（bit）以指示它在队列中出现的情况。

无环图

如果图是无环的，则可以通过改变声明顶点为known的顺序，或者叫做顶点选取法则来改进Dijkstra算法。这种方法通过拓扑排序来选择顶点，由于选择和更新可以在拓扑排序执行的过程中执行，因此新的算法只需要一趟就可以完成。

通过下面这个动作结点图（activity-node graph）来解释什么是关键路径分析（critical path analysis）再合适不过了。一条边（v，w）表示动作v必须在动作w开始前完成，如前面说描述的那样，这就意味着图必须是无环的。

为了进行这些运算，我们把动作结点图转化成事件结点图（event-node graph），每个事件对应于一个动作和所有与它相关的动作完成。

所以现在我们需要找出事件的最早完成时间，只要找出从第一个事件到最后一关事件的最长路径的长。因为有正值回路（positive-cost cycle）的存在最长路径问题常常是没有意义的。而由于事件结点图是无环图，那就不需要担心回路的问题了，这样一来就不用有所顾忌了。

以下是最早完成时间。

以下是最晚完成时间。

借助顶点的拓扑排序计算最早完成时间，而最晚完成时间则通过倒转拓扑排序来计算。

而事件结点图中每条边的松弛时间（slack time）代表对应动作可以被延迟而不推迟整体完成的时间量，最早完成时间、最晚完成时间和松弛时间如下所示。

某些动作的松弛时间为0，这些动作是关键性的动作，它们必须按计划结束。至少存在一条完成零-松弛边组成的路径，这样的路径是关键路径（critical path）。

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