九章算法面试题58 背包问题

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九章算法官网-原文网址

http://www.jiuzhang.com/problem/58/

题目

有一个大小为m（整数）的背包，和n个体积为正整数的物品(大小分别为A[i])。将这个n个物品选一些装到背包中，请问最多能装满多少的体积？

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http://www.lintcode.com/problem/backpack/

解答

背包问题是动态规划问题的一种典型题目。 动态规划问题我们一般要考虑下面这四点。

1. 状态 State

2. 方程 Function

3. 初始化 Intialization

4. 答案 Answer

本题是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放，那下面我们来看背包这题动态规划的四点是怎么样的呢？

1. State: dp[i][S] 表示前i个物品，取出一些能否组成和为S体积的背包

2. Function: f[i][S] = f[i-1][S - A[i]] or f[i-1][S] (A[i]表示第i个物品的大小)

转移方程想得到f[i][S]前i个物品取出一些物品想组成S体积的背包。 那么可以从两个状态转换得到。

   （1）f[i-1][S - A[i]] 放入第i个物品，并且前i-1个物品能否取出一些组成和为S-A[i] 体积大小的背包。

   （2）f[i-1][S] 不放入第i个物品， 并且前i-1个物品能否取出一些组成和为S 体积大小的背包。

3. Intialize: f[1...n][0] = true; f[0][1... m] = false

初始化 f[1...n][0] 表示前1...n个物品，取出一些能否组成和为0 大小的背包始终为真。

其他初始化为假

4. Answer: 寻找使f[n][S] 值为true的最大的S. （S的取值范围1到m）

由于这道题空间上有一些要求，所以在知道了思路答案过后我们还需要进行优化空间复杂度.先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1..N，每次算出来二维数组f[i][0..S]的所有值。那么，如果只用一个数组f[0..S]，能不能保证第i次循环结束后f[S]中表示的就是我们定义的状态f[i][S]呢？f[i][S]是由 f[i-1][S - a[i]] 和 f[i-1][S] 两个子问题递推而来，能否保证在推f[i][S]时（也即在第i次主循环中推f[S]时）能够得到 f[i-1][S - a[i]] 和 f[i-1][S] 的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以S=m...0的顺序推f[S]，这样才能保证推f[S]时f[S-a[i]]保存的是状态f[i-1][S-a[i]]的值。伪代码如下：

for i=1..N

for S=m...0

f[S]=f[S] or f[S-a[i]];

九章算法面试题58 背包问题

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原文地址：http://blog.csdn.net/jiuzhang_ninechapter/article/details/45681381