图像特征检测之Harris角点算法

时间：2015-05-20 11:22:07 阅读：220 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

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图像检测是图像分割，图像识别的基础，也是不可缺少的关键。在视觉计算理论框架中，抽取二维图像的边缘、角点、纹理等基本特征，是整个框架的第一步；本文章对Harris角点算法做了比较详细的理论介绍以及相关实现。

Part One：角点类型介绍

在现实世界中，角点对应于物体的拐角，道路的十字路口、丁字路口等。从图像分析的角度来定义角点可以有以下两种定义：

角点可以是两个边缘的角点；

角点是邻域内具有两个主方向的特征点前者往往需要对图像边缘进行编码，这在很大程度上依赖于图像的分割与边缘提取，具有相当大的难度和计算量，且一旦待检测目标局部发生变化，很可能导致操作的失败。早期主要有Rosenfeld和Freeman等人的方法，后期有CSS等方法。基于图像灰度的方法通过计算点的曲率及梯度来检测角点，避免了第一类方法存在的缺陷，此类方法主要有Moravec算子、Forstner算子、Harris算子、SUSAN算子等。

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这篇文章主要介绍的Harris角点检测的算法原理，比较著名的角点检测方法还有jianbo Shi和Carlo Tomasi提出的Shi-Tomasi算法，这个算法开始主要是为了解决跟踪问题，用来衡量两幅图像的相似度，我们也可以把它看为Harris算法的改进。OpenCV中已经对它进行了实现，接口函数名为GoodFeaturesToTrack()。另外还有一个著名的角点检测算子即SUSAN算子，SUSAN是Smallest Univalue Segment Assimilating Nucleus（最小核值相似区）的缩写。SUSAN使用一个圆形模板和一个圆的中心点，通过圆中心点像素与模板圆内其他像素值的比较，统计出与圆中心像素近似的像元数量，当这样的像元数量小于某一个阈值时，就被认为是要检测的角点。我觉得可以把SUSAN算子看为Harris算法的一个简化。这个算法原理非常简单，算法效率也高，所以在OpenCV中，它的接口函数名称为：FAST() 。

Part TWO：Harris角点算法理论

人眼对角点的识别通常是在一个局部的小区域或小窗口完成的。如果在各个方向上移动这个特征的小窗口，窗口内区域的灰度发生了较大的变化，那么就认为在窗口内遇到了角点。如果这个特定的窗口在图像各个方向上移动时，窗口内图像的灰度没有发生变化，那么窗口内就不存在角点；如果窗口在某一个方向移动时，窗口内图像的灰度发生了较大的变化，而在另一些方向上没有发生变化，那么，窗口内的图像可能就是一条直线的线段。

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对于图像I(x,y)，当在点(x,y)处平移(Δx,Δy)后的自相似性，可以通过自相关函数给出：

c (x, y; Δ x, Δ y) = \sum (u, v) \in W (x, y) w (u, v) (I (u, v) - I (u + Δ x, v + Δ y)) 2

其中，W(x,y)是以点(x,y)为中心的窗口，w(u,v)为加权函数，它既可是常数，也可以是高斯加权函数。

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根据泰勒展开，对图像I(x,y)在平移(Δx,Δy)后进行一阶近似：

I (u + Δ x, v + Δ y) = I (u, v) + I x (u, v) Δ x + I y (u, v) Δ y + O (Δ x 2, Δ y 2) \approx I (u, v) + I x (u, v) Δ x + I y (u, v) Δ y

其中，Ix,Iy是图像I(x,y)的偏导数，这样的话，自相关函数则可以简化为：

c (x, y; Δ x, Δ y) \approx \sum w (I x (u, v) Δ x + I y (u, v) Δ y) 2 = [Δ x, Δ y] M (x, y) [Δ x Δ y]

其中

M (x, y) = \sum w [I x (x, y) 2 I x (x, y) I y (x, y) I x (x, y) I y (x, y) I y (x, y) 2] = ? ? ? ? \sum w I x (x, y) 2 \sum w I x (x, y) I y (x, y) \sum w I x (x, y) I y (x, y) \sum w I y (x, y) 2 ? ? ? ? = [A C C B]

也就是说图像I(x,y)在点(x,y)处平移(Δx,Δy)后的自相关函数可以近似为二项函数：

c (x, y; Δ x, Δ y) \approx A Δ x 2 + 2 C Δ x Δ y + B Δ y 2 其中

A = \sum w I 2 x, B = \sum w I 2 y, C = \sum w I x I y

二次项函数本质上就是一个椭圆函数。椭圆的扁率和尺寸是 由 M (x, y) 的特征值 λ 1 、 λ 2 决定的，椭贺的方向是由 M (x, y) 的特征矢量决定的，

如下图所示，椭圆方程为：

[Δx,Δy]M(x,y)[ΔxΔy]=1

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椭圆函数特征值与图像中的角点、直线（边缘）和平面之间的关系如下图所示。共可分为三种情况：

图像中的直线。一个特征值大，另一个特征值小，λ1?λ2或λ2?λ1。自相关函数值在某一方向上大，在其他方向上小。
图像中的平面。两个特征值都小，且近似相等；自相关函数数值在各个方向上都小。
图像中的角点。两个特征值都大，且近似相等，自相关函数在所有方向都增大。

根据二次项函数特征值的计算公式，我们可以求M(x,y)矩阵的特征值。但是Harris给出的角点差别方法并不需要计算具体的特征值，而是计算一个角点响应值R来判断角点。R的计算公式为：

R = d e t M ? α (t r a c e M) 2

式中，detM为矩阵M=[ABBC]的行列式；traceM为矩阵M的直迹；α为经常常数，取值范围为0.04~0.06。事实上，特征是隐含在detM和traceM中，因为，

d e t M = λ 1 λ 2 = A C ? B 2

t r a c e M = λ 2 + λ 2 = A + C

Harris角点算法实现

根据上述讨论，可以将Harris图像角点检测算法归纳如下，共分以下五步：

1. 计算图像I(x,y)在X和Y两个方向的梯度Ix、Iy。

I x = ? I ? x = I ? (? 101) ， I y = ? I ? x = I ? (? 101) T

2. 计算图像两个方向梯度的乘积。

I 2 x = I x ? I y ， I 2 y = I y ? I y ， I x y = I x ? I y

3. 使用高斯函数对I2x、I2y和Ixy进行高斯加权（取σ=1），生成矩阵M的元素A、B和C。

A = g (I 2 x) = I 2 x ? w ， C = g (I 2 y) = I 2 y ? w ， B = g (I x, y) = I x y ? w

4. 计算每个像素的Harris响应值R，并对小于某一阈值t的R置为零。

R = {R : d e t M ? α (t r a c e M) 2 < t}

5. 在3×3或5×5的邻域内进行非最大值抑制，局部最大值点即为图像中的角点。

Harris角点的性质

1. 参数α对角点检测的影响

假设已经得到了矩阵M的特征值λ1≥λ2≥0，令λ2=kλ1,0≤k≤1。由特征值与矩阵M的直迹和行列式的关系可得：

d e t M = \prod i λ i t r a c e M = \sum i λ i

从而可以得到角点的响应

R = λ 2 λ 2 = α (λ 2 + λ 2) 2 = λ 2 (k ? α (1 + k) 2)

假设R≥0，则有：

0 \leq α \leq k ( 1 + k ) 2 \leq 0.25

对于较小的k值，R≈λ2(k?α),α<k。

由此，可以得出这样的结论：增大α的值，将减小角点响应值R，降低角点检测的灵性，减少被检测角点的数量；减小α值，将增大角点响应值R，增加角点检测的灵敏性，增加被检测角点的数量。

2. Harris角点检测算子对亮度和对比度的变化不敏感

这是因为在进行Harris角点检测时，使用了微分算子对图像进行微分运算，而微分运算对图像密度的拉升或收缩和对亮度的抬高或下降不敏感。换言之，对亮度和对比度的仿射变换并不改变Harris响应的极值点出现的位置，但是，由于阈值的选择，可能会影响角点检测的数量。

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3. Harris角点检测算子具有旋转不变性

Harris角点检测算子使用的是角点附近的区域灰度二阶矩矩阵。而二阶矩矩阵可以表示成一个椭圆，椭圆的长短轴正是二阶矩矩阵特征值平方根的倒数。当特征椭圆转动时，特征值并不发生变化，所以判断角点响应值R也不发生变化，由此说明Harris角点检测算子具有旋转不变性。

4. Harris角点检测算子不具有尺度不变性

如下图所示，当右图被缩小时，在检测窗口尺寸不变的前提下，在窗口内所包含图像的内容是完全不同的。左侧的图像可能被检测为边缘或曲线，而右侧的图像则可能被检测为一个角点。

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Harris的OpenCV接口

OpenCV的Hairrs角点检测的函数为cornerHairrs()，但是它的输出是一幅浮点值图像，浮点值越高，表明越可能是特征角点，我们需要对图像进行阈值化。

C++: void cornerHarris(InputArray src, OutputArray dst, int blockSize, int apertureSize, double k, int borderType = BORDER_DEFAULT);

src – 输入的单通道8-bit或浮点图像。
dst – 存储着Harris角点响应的图像矩阵，大小与输入图像大小相同，是一个浮点型矩阵。
blockSize – 邻域大小。
apertureSize – 扩展的微分算子大。
k – 响应公式中的，参数α。
boderType – 边界处理的类型。

int main()
{
    Mat image = imread("../buliding.png");
    Mat gray;
    cvtColor(image, gray, CV_BGR2GRAY);

    Mat cornerStrength;
    cornerHarris(gray, cornerStrength, 3, 3, 0.01);
    threshold(cornerStrength, cornerStrength, 0.001, 255, THRESH_BINARY);
    return 0;
}

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从上面上间一幅图像我们可以看到，有很多角点都是粘连在一起的，我们下面通过加入非极大值抑制来进一步去除一些粘在一起的角点。

非极大值抑制原理是，在一个窗口内，如果有多个角点则用值最大的那个角点，其他的角点都删除，窗口大小这里我们用3*3，程序中通过图像的膨胀运算来达到检测极大值的目的，因为默认参数的膨胀运算就是用窗口内的最大值替代当前的灰度值。

int main()
{
    Mat image = imread("buliding.png");
    Mat gray;
    cvtColor(image, gray, CV_BGR2GRAY);

    Mat cornerStrength;
    cornerHarris(gray, cornerStrength, 3, 3, 0.01);

    double maxStrength;
    double minStrength;
    // 找到图像中的最大、最小值
    minMaxLoc(cornerStrength, &minStrength, &maxStrength);

    Mat dilated;
    Mat locaMax;
    // 膨胀图像，最找出图像中全部的局部最大值点
    dilate(cornerStrength, dilated, Mat());
    // compare是一个逻辑比较函数，返回两幅图像中对应点相同的二值图像
    compare(cornerStrength, dilated, locaMax, CMP_EQ);

    Mat cornerMap;
    double qualityLevel = 0.01;
    double th = qualityLevel*maxStrength; // 阈值计算
    threshold(cornerStrength, cornerMap, th, 255, THRESH_BINARY);
    cornerMap.convertTo(cornerMap, CV_8U);
    // 逐点的位运算
    bitwise_and(cornerMap, locaMax, cornerMap);

    drawCornerOnImage(image, cornerMap);
    namedWindow("result");
    imshow("result", image);
    waitKey();

    return 0;
}
void drawCornerOnImage(Mat& image, const Mat&binary)
{
    Mat_<uchar>::const_iterator it = binary.begin<uchar>();
    Mat_<uchar>::const_iterator itd = binary.end<uchar>();
    for (int i = 0; it != itd; it++, i++)
    {
        if (*it)
            circle(image, Point(i%image.cols, i / image.cols), 3, Scalar(0, 255, 0), 1);
    }
}

现在我们得到的效果就比默认的函数得到的结果有相当的改善，如上面最右边效果图。

多尺度Harris角点

1 多尺度Harris角点的原理

虽然Harris角点检测算子具有部分图像灰度变化的不变性和旋转不变性，但它不具有尺度不变性。但是尺度不变性对图像特征来说至关重要。人们在使用肉眼识别物体时，不管物体远近，尺寸的变化都能认识物体，这是因为人的眼睛在辨识物体时具有较强的尺度不变性。在图像特征提取：尺度空间理论这篇文章里就已经讲到了高斯尺度空间的概念。下面将Harris角点检测算子与高斯尺度空间表示相结合，使用Harris角点检测算子具有尺度的不变性。

仿照Harris角点检测中二阶矩的表示方法，使用M=μ(x,σI,σD)为尺度自适应的二阶矩：

M = μ (x, σ I, σ D) = σ 2 D g (σ I) ? [L 2 x (x, σ D) L x L y (x, σ D) L x L y (x, σ D) L 2 y (x, σ D)]

其中，g(σI)表示尺度为sigmaI的高斯卷积核，x表示图像的位置。与高斯测度空间类似，使用L(x)表示经过高斯平滑后的图像，符号?表示卷积，Lx(x,σD)和Ly(x,σD)表示对图像使用高斯g(σD)函数进行平滑后，在x或y方向取其微分的结果，即Lx=?xL和Ly=?yL。通常将σI称为积分尺度，它是决定Harris角点当前尺度的变量，σD为微分尺度或局部尺度，它是决定角点附近微分值变化的变量。显然，积分尺度σI应该大于微分尺度σD。

2 多尺度Harris角点实现

首先，检测算法从预先定义的一组尺度中进行积分尺度搜索，这一组尺度定义为

σ 1 \dots σ n = σ 0 \dots k n σ 0

一般情况下使用k=1.4。为了减少搜索的复杂性，对于微分尺度σD的选择，我们采用在积分尺度的基础上，乘以一个比例常数，即σD=sσI，一般取s=0.7。这样，通常使用积分和微分的尺度，便可以生成μ(x,σI,σD)，再利用Harris角点判断准则，对角点进行搜索，具体可以分两步进行。

1. 与Harris角点搜索类似，对于给定的尺度空间值σD，进行如下角点响应值计算和判断：

c o r n e r n e s s = d e t (μ (x, σ n) ? α t r a c e 2 (μ (x, σ n))) > t h r e s h o l d H

2. 对于满足1中条件的点，在点的8邻域内进行角点响应最大值搜索（即非最大值抑制）出在8邻域内角点响应最大值的点。对于每个尺度σn(1,2,…,n)都进行如上搜索。

由于位置空间的候选点并不一定在尺度空间上也能成为候选点，所以，我们还要在尺度空间上进行搜索，找到该点的所谓特征尺度值。搜索特征尺度值也分两步。

1. 对于位置空间搜索到的每个候选点，进行拉普拉斯响应计算，并满足其绝对值大于给定的阈值条件：

F (x, σ n) = σ 2 n | L x x (x, σ n) + L y y (x, σ n) | \geq t h r e s h o l d L

2. 与邻近的两个尺度空间的拉普拉斯响应值进行比较，使其满足：

F (x, σ n) > F (x, σ l), l \in {n ? 1. n + 1}

满足上述条件的尺度值就是该点的特征尺度值。这样，我们就找到了在位置空间和尺度空间都满足条件的Harris角点。

多尺度Harris角点检测C++实现：https://github.com/RonnyYoung/ImageFeatures/blob/master/source/harrisLaplace.cpp

图像特征检测之Harris角点算法

Harris角点算法实现

Harris角点的性质

1. 参数α对角点检测的影响

2. Harris角点检测算子对亮度和对比度的变化不敏感

3. Harris角点检测算子具有旋转不变性

4. Harris角点检测算子不具有尺度不变性

Harris的OpenCV接口

多尺度Harris角点

1 多尺度Harris角点的原理

2 多尺度Harris角点实现

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