"《算法导论》之‘图’"：不带权二分图最大匹配（匈牙利算法）

时间：2015-05-20 23:49:41 阅读：293 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

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　　博文“二分图的最大匹配、完美匹配和匈牙利算法”对二分图相关的几个概念讲的特别形象，特别容易理解。本文介绍部分主要摘自此博文。

　　还有其他可参考博文：

　　趣写算法系列之--匈牙利算法

　　用于二分图匹配的匈牙利算法

　 1. 前言

　　二分图：简单来说，如果图中点可以被分为两组，并且使得所有边都跨越组的边界，则这就是一个二分图。准确地说：把一个图的顶点划分为两个不相交集

　　匹配：在图论中，一个「匹配」（matching）是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。例如，图 3、图 4 中红色的边就是图 2 的匹配。

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　　我们定义匹配点、匹配边、未匹配点、非匹配边，它们的含义非常显然。例如图 3 中 1、4、5、7 为匹配点，其他顶点为未匹配点；1-5、4-7为匹配边，其他边为非匹配边。

　　最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。图 4 是一个最大匹配，它包含 4 条匹配边。

　　完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。图 4 是一个完美匹配。显然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。但并非每个图都存在完美匹配。

　　举例来说：如下图所示，如果在某一对男孩和女孩之间存在相连的边，就意味着他们彼此喜欢。是否可能让所有男孩和女孩两两配对，使得每对儿都互相喜欢呢？图论中，这就是完美匹配问题。如果换一个说法：最多有多少互相喜欢的男孩/女孩可以配对儿？这就是最大匹配问题。

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　　基本概念讲完了。求解最大匹配问题的一个算法是匈牙利算法，下面讲的概念都为这个算法服务。

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　　交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。

　　增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路（agumenting path）。例如，图 5 中的一条增广路如图 6 所示（图中的匹配点均用红色标出）：

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　　增广路有一个重要特点：非匹配边比匹配边多一条。因此，研究增广路的意义是改进匹配。只要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换即可。由于中间的匹配节点不存在其他相连的匹配边，所以这样做不会破坏匹配的性质。交换后，图中的匹配边数目比原来多了 1 条。

　　我们可以通过不停地找增广路来增加匹配中的匹配边和匹配点。找不到增广路时，达到最大匹配（这是增广路定理）。匈牙利算法正是这么做的。在给出匈牙利算法 DFS 和 BFS 版本的代码之前，先讲一下匈牙利树。

　　匈牙利树一般由 BFS 构造（类似于 BFS 树）。从一个未匹配点出发运行 BFS（唯一的限制是，必须走交替路），直到不能再扩展为止。例如，由图 7，可以得到如图 8 的一棵 BFS 树：

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　　这棵树存在一个叶子节点为非匹配点（7 号），但是匈牙利树要求所有叶子节点均为匹配点，因此这不是一棵匈牙利树。如果原图中根本不含 7 号节点，那么从 2 号节点出发就会得到一棵匈牙利树。这种情况如图 9 所示（顺便说一句，图 8 中根节点 2 到非匹配叶子节点 7 显然是一条增广路，沿这条增广路扩充后将得到一个完美匹配）。

　 2. 匈牙利算法实现

　　匈牙利算法可基于DFS或BFS实现。本文实现的是基于DFS的。

　　具体代码头文件定义为：

 1 #ifndef HUNGARIAN_H
 2 #define HUNGARIAN_H
 3 
 4 #include "BFS_n_DFS.h" // 详细代码请转到Github.
 5 
 6 class Graph_Hun : public Graph_BD
 7 {
 8 public:
 9     Graph_Hun();
10     virtual ~Graph_Hun();
11     virtual bool DFS(int vexID);
12     virtual bool BFS(int vexID);
13     int hungarian();
14 
15     void setNumOfLeft(int num);
16     void setNumOfRight(int num);
17 
18 private:
19     int matching[MAXNUM];
20     bool checked[MAXNUM];
21     int numOfLeft;
22     int numOfRight;
23 };
24 
25 #endif

　　实现文件为：

 1 #include "Hungarian.h"
 2 #include <cassert>
 3 
 4 Graph_Hun::Graph_Hun()
 5 {
 6     memset(matching, -1, sizeof(matching));
 7     memset(checked, false, sizeof(checked));
 8 }
 9 
10 Graph_Hun::~Graph_Hun()
11 {
12 
13 }
14 
15 bool Graph_Hun::DFS(int vexID)
16 {
17     assert(vexID >= 0 && vexID < MAXNUM);
18 
19     vector<int> adjVexes = adj(vexID);
20     int sz = adjVexes.size();
21     for (int i = 0; i < sz; i++)
22     {
23         int adjVex = adjVexes[i];
24         if (!checked[adjVex])
25         {
26             checked[adjVex] = true;
27             if (matching[adjVex] == -1 || DFS(matching[adjVex]))
28             {
29                 matching[adjVex] = vexID;
30                 matching[vexID] = adjVex;
31                 return true;
32             }
33         }
34     }
35     return false;
36 }
37 
38 bool Graph_Hun::BFS(int vexID)
39 {
40     return true;
41 }
42 
43 int Graph_Hun::hungarian()
44 {
45     int maxMatching = 0;
46     for (int i = 0; i < numOfLeft; i++)
47     {
48         if (matching[i] == -1)
49         {
50             memset(checked, false, sizeof(checked));
51             if (DFS(i))
52                 maxMatching++;
53         }
54     }
55     return maxMatching;
56 }
57 
58 void Graph_Hun::setNumOfLeft(int num)
59 {
60     numOfLeft = num;
61 }
62 
63 void Graph_Hun::setNumOfRight(int num)
64 {
65     numOfRight = num;
66 }