【算法】2 由股票收益问题再看分治算法和递归式

回顾分治算法

分治算法的英文名叫做“divide and conquer”，它的意思是将一块领土分解为若干块小部分，然后一块块的占领征服，让它们彼此异化。这就是英国人的军事策略，但我们今天要看的是算法。

如前所述，分治算法有3步，在上一篇中已有介绍，它们对应的英文名分别是：divide、conquer、combine。

接下来我们通过多个小算法来深化对分治算法的理解。

二分查找算法

问题描述：在已排序的数组A中查找是否存在数字n。

1）分：取得数组A中的中间数，并将其与n比较
2）治：假设数组为递增数组，若n比中间数小，则在数组左半部分继续递归查找执行“分”步骤
3）组合：由于在数组A中找到n后便直接返回了，因此这一步就无足轻重了

平方算法

问题描述：计算x的n次方

我们有原始算法：用x乘以x，再乘以x，再乘以x，一直有n个x相乘

这样一来算法的复杂度就是$\Theta(n)$。

分治算法：我们可以将n一分为二，于是，

当n为奇数时，$x^n=x^{(n-1)/2}*x^{(n-1)/2}*x$

当x为偶数时，$x^n=x^{n/2}*x^{n/2}$

此时的复杂度就变成了$\Theta(lgn)$。

斐波那契数

斐波那契数的定义如下：

当然，可以直接用递归来求解，但是这样一来花费的时间就是指数级的$\Omega(\Phi ^n)$，$\Phi$为黄金分割数。

然后我们可以更进一步让其为多项式时间。

上面这幅图虽然比较简略，在求n为6时的斐波那契数，我们却求解了3次F3，F1和F0的求解次数则更多了，我们完全可以让其只求解一次。

对此，还有一个计算公式：

$F_i=\frac{\Phi^i-\overline\Phi^i}{\sqrt(5)}$

其中$\overline\Phi$是黄金分割率$\Phi$的共轭数。

然后这个公式只存在与理论中，在当今计算机中仍旧无法计算，因为我们只能使用浮点型，而浮点型都有一定的精度，最后计算的时候铁定了会丢失一些精度的。

下面再介绍一种平方递归算法：

一时忘了矩阵怎么计算成绩，感谢@fireworkpark 相助。

最大子数组问题

最近有一个比较火的话题，股票，那么这一篇就由此引入来进一步学习分治算法。在上一篇博客中已经对插入排序和归并排序做了初步的介绍，大家可以看看：【算法基础】由插入排序看如何分析和设计算法

当然了，这篇博客主要用来介绍算法而非讲解股票，所以这里已经有了股票的价格，如下所示。

价格表已经有了问题是从哪一天买进、哪一天卖出会使得收益最高呢？你可以认为在价格最低的时候买入，在价格最高的时候卖出，这是对的，但不一定任何时候都适用。在这里的价格表中，股票价格最高的时候是第3天、价格最低的时候是第11天，怎么办？让时间反向行驶？

就像我以前参加学校里的程序设计竞赛时一样，也可以用多个for循环不断的进行比较。这里就是将每对可能的买进和卖出日期进行组合，只要卖出日期在买进日期之前就好，这样在18天中就有$C_{18}^2$种日期组合，也可以写成$(_2^{18})$。因此对于$n$天，就有$(_2^n)$种组合，而$(_2^n)=\Theta(n^2)$，另外处理每对日期所花费的时间至少也是常量，因此这种方法的运行时间为$\Omega(n^2)$。

然后，我们在学习算法，自然要以算法的角度来看这个问题。比起股票价格，我们更应该关注价格波动。如果将这个波动定义为数组A，那么问题就转换为寻找A的和最大的非空连续子数组。这种连续子数组就是标题中的最大子数组（maximum subarray）。将原表简化如下：

在这个算法中，常常被说成是“一个最大子数组”而不是“最大子数组”，因为可能有多个子数组达到最大和。

只有当数组中包含负数时，最大子数组问题才有意义。如果所有数组元素都是非负的，最大子数组问题没有任何难度，因为整个数组的和肯定是最大的。

使用分治思想解决问题

我们将实际问题转换为算法问题，在这里也就是要寻找子数组$A[low...high]$的最大子数组。分治思想意味着将问题一分为二，这里就需要找到数组的中间位置$mid$，然后考虑求解2个子数组$A[low...mid]$和$A[mid+1...high]$。而$A[low...high]$的任何连续子数组$A[i...j]$所处的位置必然是以下情况之一：

1）完全位于子数组$A[low...mid]$中，因此$low\leq i\leq j \leq mid$；
2）完全位于子数组$A[mid+1...high]$中，因此$mid<i\leq j\leq high$；
3）跨越中点$mid$，因此$low\leq i\leq mid\leq j\leq high$。

$A[low...high]$的一个最大子数组所处的位置必然是这三种情况之一，而且还是这三种情况中所有子数组中和最大者。对于第1种和第2种情况我们可以通过递归来求解最大子数组，对于第三种情况我们可以通过下面伪代码所示来求解。

FIND-MAX-CROSSING-SUBARRAY(A,low,mid,high)
1   left-sum = -10000
2   sum = 0
3   for i = mid downto low
4        sum = sum + A[i]
5        if sum > left-sum
6             left-sum = sum
7             max-left = i
8   right-sum = -10000
9   sum = 0
10  for j = mid + 1 to high
11       sum = sum + A[i]
12       if sum > right-sum
13            right-sum = sum
14            max-right = j
15   return (max-left, max-right, left-sum + right-sum)

下面是以上程序的一个简易程序。

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

int const n=18;
int A[n]={7,8,18,-8,-7,-6,-3,-3,-4,3,-4,13,10,7,-6,-4,12,-3};
int B[3];
int low,high,mid;
int max_left,max_right;
int sum;

void find_max_crossing_subarray(int A[],int low,int mid,int high);

int main()
{
    find_max_crossing_subarray(A,0,7,15);
    for(int i=0;i<3;i++)
    {
        printf("%d ",B[i]);
    }
    return 0;
}

void find_max_crossing_subarray(int A[],int low,int mid,int high)
{
   int left_sum=-10000;
   sum=0;
   for(int i=mid;i>=low;i--)
   {
       sum=sum+A[i];
       if(sum>left_sum)
       {
           left_sum=sum;
           max_left=i;
       }
   }
   int right_sum=-10000;
   sum=0;
   for(int j=mid+1;j<=high;j++)
   {
       sum=sum+A[j];
       if(sum>right_sum)
       {
           right_sum=sum;
           max_right=j;
       }
   }
   B[0]=max_left;
   B[1]=max_right;
   B[2]=left_sum+right_sum;
}

如果子数组$A[low...high]$包含n个元素（即$n=high-low+1$），则调用FIND-MAX-CROSSING-SUBARRAY(A,low,mid,high)花费$\Theta(n)$时间。而上面的两个for循环都次迭代都会花费$\Theta(1)$时间，每个for循环都执行了$mid-low+1$（或$high-mid$）次迭代，因此总循环的迭代次数为：

$(mid-low+1)+(high-mid)=high-low+1=n$

可以看出上面的算法所花费的时间是线性的，这样我们就可以来求解最大子数组问题的分治算法的伪代码咯：

FIND-MAXIMUM-SUBARRAY(A,low,high)
1   if high==low
2        return (low,high,A[low])
4        (left-low,left-high,left-sum)=FIND-MAXIMUM-SUBARRAY(A,low,mid)
5        (right-low,right-high,right-sum)=FIND-MAXIMUM-SUBARRAY(A,mid+1,high)
6        (cross-low,cross-high,cross-sum)=FIND-MAX-CROSSING-SUBARRAY(A,low,mid,high)
7        if left-sum>=right-sum and left-sum>=cross-sum)
              return (left-low,left-high,left-sum)
8        else if(right-sum>=left-sum and right-sum>=cross-sum)
              return (right-low,right-high,right-sum)
9        else return (cross-low,cross-high,cross-sum)

只要初始调用FIND-MAXIMUM-SUBARRAY(A,1,A.length)就可以求出$A[1...n]$的最大子数组了。

分析分治算法和渐近记号中的省略问题

下面我们又来使用递归式来求解前面的递归过程FIND-MAXIMUM-SUBARRAY的运行时间了，就像上一篇分析归并排序那样，对问题进行简化，假设原问题的规模为2的幂，这样所有子数组的规模均为整数。

第1行花费常量时间。当n=1时，直接在第二行return后跳出函数，因此

$T(1)=\Theta(1)$

当n>1时，为递归情况。第1行和第3行都花费常量时间，第4行和第5行求解的子问题均为n/2个元素的子数组，因此每个子问题的求解总运行时间增加了2T(n/2)。第6行调用FIND-MAX-CROSSING-SUBARRAY花费$\Theta(n)$时间，第7行花费$\Theta(1)$时间，因此总时间为

$T(n)=\Theta(1)+2T(n/2)+\Theta(n)+\Theta(1)=2T(n/2)+\Theta(n)$

在上面的步骤中，将$\Theta(1)$省略掉的作法大家应该都理解吧。

回顾前面n=1的情况，第一行花费了常量时间，第二行同样也花费了常量时间，但这两步花费的总时间却是$\Theta(1)$而非$2\Theta(1)$，这是因为在$\Theta$符号中已经包含了常数2在内了。

但是为什么第4行和第5行中却是$2\Theta(n/2)$而非$\Theta(n/2)$时间呢？因为这里是递归呀，这里的因子就决定了递归树种每个结点的孩子个数，因子为2就意味着这是一颗二叉树（也就是每个结点下有2个子节点）。

如果省略了这个因子2会发生什么呢？不要以为就是一个2这么小的数而已哦，后果可严重了，看下图……左侧是一棵4层的树，右侧就是因子为1的树（它已经是线性结构了）。

总结来说，渐近记号都包含了常量因子，但递归符号却不包含它们。

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