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给定图G(V, E)（其中V、E分别为图G的顶点集与边集），源点s，
可知，Bellman-Ford算法寻找单源最短路径的时间复杂度为O(V*E).
首先介绍一下松弛计算。如下图：
松弛计算之前，点B的值是8，但是点A的值加上边上的权重2，得到5，比点B的值（8）小，所以，点B的值减小为5。这个过程的意义是，找到了一条通向B点更短的路线，且该路线是先经过点A，然后通过权重为2的边，到达点B。
当然，如果出现一下情况
则不会修改点B的值，因为3＋4>6。
Bellman－Ford算法可以大致分为三个部分
第一，初始化所有点。每一个点保存一个值，表示从原点到达这个点的距离，将原点的值设为0，其它的点的值设为无穷大（表示不可达）。
第二，进行循环，循环下标为从1到n－1（n等于图中点的个数）。在循环内部，遍历所有的边，进行松弛计算。
第三，遍历途中所有的边（edge（u，v）），判断是否存在这样情况：
d（v） > d (u) + w(u,v)
则返回false，表示途中存在从源点可达的权为负的回路。
之所以需要第三部分的原因，是因为，如果存在从源点可达的权为负的回路。则 应为无法收敛而导致不能求出最短路径。
考虑如下的图：
经过第一次遍历后，点B的值变为5，点C的值变为8，这时，注意权重为－10的边，这条边的存在，导致点A的值变为－2。（8＋ －10＝－2）
第二次遍历后，点B的值变为3，点C变为6，点A变为－4。正是因为有一条负边在回路中，导致每次遍历后，各个点的值不断变小。
在回过来看一下bellman－ford算法的第三部分，遍历所有边，检查是否存在d（v） > d (u) + w(u,v)。因为第二部分循环的次数是定长的，所以如果存在无法收敛的情况，则肯定能够在第三部分中检查出来。比如
此时，点A的值为－2，点B的值为5，边AB的权重为5，5 > -2 + 5. 检查出来这条边没有收敛。
所以，Bellman－Ford算法可以解决图中有权为负数的边的单源最短路径问。
考虑：为什么要循环V-1次？
答：因为最短路径肯定是个简单路径，不可能包含回路的，
如果包含回路，且回路的权值和为正的，那么去掉这个回路，可以得到更短的路径
如果回路的权值是负的，那么肯定没有解了
图有n个点，又不能有回路
所以最短路径最多n-1边
又因为每次循环，至少relax一边
所以最多n-1次就行了
1 #include <iostream> 2 using namespace std; 3 const int maxnum = 100; 4 const int maxint = 99999; 5 6 // 边， 7 typedef struct Edge{ 8 int u, v; // 起点，重点 9 int weight; // 边的权值 10 }Edge; 11 12 Edge edge[maxnum]; // 保存边的值 13 int dist[maxnum]; // 结点到源点最小距离 14 15 int nodenum, edgenum, source; // 结点数，边数，源点 16 17 // 初始化图 18 void init() 19 { 20 // 输入结点数，边数，源点 21 cin >> nodenum >> edgenum >> source; 22 for(int i=1; i<=nodenum; ++i) 23 dist[i] = maxint; 24 dist[source] = 0; 25 for(int i=1; i<=edgenum; ++i) 26 { 27 cin >> edge[i].u >> edge[i].v >> edge[i].weight; 28 if(edge[i].u == source) //注意这里设置初始情况 29 dist[edge[i].v] = edge[i].weight; 30 } 31 } 32 33 // 松弛计算 34 void relax(int u, int v, int weight) 35 { 36 if(dist[v] > dist[u] + weight) 37 dist[v] = dist[u] + weight; 38 } 39 40 bool Bellman_Ford() 41 { 42 for(int i=1; i<=nodenum-1; ++i) 43 for(int j=1; j<=edgenum; ++j) 44 relax(edge[j].u, edge[j].v, edge[j].weight); 45 bool flag = 1; 46 // 判断是否有负环路 47 for(int i=1; i<=edgenum; ++i) 48 if(dist[edge[i].v] > dist[edge[i].u] + edge[i].weight) 49 { 50 flag = 0; 51 break; 52 } 53 return flag; 54 } 55 int main() 56 { 57 //freopen("input3.txt", "r", stdin); 58 init(); 59 if(Bellman_Ford()) 60 for(int i = 1 ;i <= nodenum; i++) 61 cout << dist[i] << endl; 62 return 0; 63 }
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原文地址：http://www.cnblogs.com/cyd308/p/4539352.html
