【算法】5 快速排序

（由于markdown的草稿箱十分“危险”所以就不存在草稿箱了，直接将这篇没有完成的博客发表出来了，今天晚些时候和明天会继续修改）

快速排序Quicksort由Tony Hoare在1962年发明。 这是一个分治算法，而且它就在原地排序。 所谓原地排序，就是指在原来的数据区域内进行重排，就像插入排序一般。而归并排序就不一样，它需要额外的空间来进行归并排序操作。为了在线性时间与空间内归并，它不能在线性时间内实现就地排序，原地排序对它来说并不足够。而快速排序的优点就在于它是原地的，也就是说，它很节省内存。

由于快速排序采用了分治算法，所以：

一、分解：本质上快速排序把数据划分成几份，所以快速排序通过选取一个关键数据，再根据它的大小，把原数组分成两个子数组：第一个数组里的数都比这个主元数据小或等于，而另一个数组里的数都比这个主元数据要大或等于。

二、解决：用递归来处理两个子数组的排序。 （也就是说，递归地求上面图示中左半部分，以及递归地求上面图示中右半部分。）

三、合并：有了上面这两步就足够了，并不需要合并。因为上图中的两个数组分别排序好后整体也排序好了。

所以快速排序的主要思想是递归地划分。

当然最重要的是它的复杂度是线性的，也就是$\Theta(n)$个划分的子程序。

Partition(A,p,q)   // A[p,..q] 
1   x=A[p]   // pivot=A[p] 主元 
2   i=p 
3   for j=p+1 to q
4       do if A[j]<=x
5          then i=i+1 
6             exch A[i]<->A[j] 
7   exch A[p]<->A[i] 
8   return i // i pivot 

这就是划分的伪代码，基本的结构就是一个for循环语句，中间加上了一个if条件语句。

刚开始时i等于p，j等于p+1。在这个循环中查找i下标的数据，如果它比x大，那就将其存放到“>=x”区域并将j加1后进行下一次循环。而如果它比x小，那就要做些动作来维持循环不变量了。将i的下标加1后将下标i对应的数据和下标j所对应的数据互换位置。然后再移动区域的界限并开始下一次循环。

那么这个算法在n个数据下的运行时间大约是$O(n)$，因为它几乎把每个数都比较了一遍，而每个步骤所需的时间都为$O(1)$。

上面这幅图详细的描述了Partition过程，每一行后也加了注释。

有了上面这些准备工作，再加上分治的思想实现快速排序的伪代码也是很简单的。

Quicksort(A,p,q) 
1   if p<q 
2     then r<-Partition(A,p,q)   
3          Quicksort(A,p,r-1) 
4           Quicksort(A,r+1,q) 

我们会这样初始调用快速排序：Quicksort(A,1,n) 。

分析

假设所有元素都不同。我们将会证明当你有重复元素时这些代码运行的状况并不好。

最坏情况分析：

1）输入的元素以及排序或逆向排序
2）每个划分的一边都没有元素

$T(n) = T(0) + T(n-1) +$\Theta(n)$= \Theta(1) + T(n-1) +\Theta(n) =\Theta(n-1) +\Theta(n) =\Theta(n^2)$

等差级数，就和插入排序一样。它并不比插入排序快。而快速排序仍旧是一个优秀的算法，这是因为在平均情况下它已经很高效。

我们为最坏情况花一个递归树。

这是一课高度不平衡的递归树，图中左边的那些$T(0)$的运行时间都为$\Theta(1)$，而总共有n个。

所以算法的中运行时间为：

$T(n)=\Theta(n)+\Theta(n^2)=\Theta(n^2)$

最优情况分析：

当Partition将数组分为n/2和n/2两个部分时是最高效的。此时有：

$T(n)=2T(n/2)+\Theta(n)=\Theta(nlgn)$

随机化快速排序的好处：

1）其运行时间不依赖与输入序列的顺序

2）无需对输入序列的分布做任何假设

3）没有 一种特别的输入会引起最差的运行情况

4）最差的情况由随机数产生器决定