贪心算法—活动选择问题

4.1 活动选择问题
1．问题的理解与描述
假定有n个需要使用同一个这样的资源的活动，每次只能有一个活动使用该资源。每一个活动有一个开始时间 si，一个完成时间 fi，其中0 ≤ si < fi < ∞。如果区间[si , fi)和[sj , fj)不相交，活动ai和aj是相容的（即如果si≥ fj 或 sj ≤ fi，ai和aj相容）。活动选择问题是选取一个由相容活动构成的最大集合。
输入：按完成时间排好序的活动开始时间数组s，完成时间数组 f。
输出：表示一个最大的相容活动组的向量{x1, x2, …, xn}，其中

$$x_i= \begin{cases} 0& \text{第i个活动在此最大相容活动组中}\1& \text{否则} \end{cases}，i1,2,...,n。$$
2．最优子结构
定义集合
$Sij = {a_k ∈ S : fi ≤ sk < fk≤ sj}$,为表示整个问题，添加两个假想的活动a0和an+1并约定f0 = 0及sn+1 = ∞。于是S = S0 n+1，而i和j的取值范围为0 ≤ i，j ≤ n + 1。显然只要i≥ j，就有Sij =?。假定Sij的一个解包含活动ak，每一个都构成Sij中的活动的子集。设Aij是Sij的一个最优解，$a_k∈A_{ij}$。利用$a_k$产生两个子问题: $S_{ik}和S_{kj}$，则Aij中Sik的解Aik和Skj的解Akj必对于: Sik和Skj也是最优的。
3．贪婪选择性
定理4-1
考虑任一非空子问题Sij，并设am为Sij中最早完成的一个活动：
$f_m = min {f_k : a_k ∈ S_{ij}}$。
则
（1）活动$a_m$包含在$S_{ij}$的一个最大相容活动子集合中。
（2）子问题$S_{im}$是空的，所以选择$a_m$将使得$S_{mj}$成为仅有的非空子问题。
４．算法的伪代码描述

RECURSIVE-ACTIVITY-SELECTOR (s, f, i, j)
1 m ← i + 1
2 while m < j 且 sm < fi ?求Sij中的第一个活动 
3   do xm←0
4     m ← m + 1
5 if m < j
6   then xm←1
7       RECURSIVE-ACTIVITY-SELECTOR (s, f, m, j)

算法运行时间：Θ(n)

5 C++代码实现