算法导论--动态规划（装配线调度）

装配线问题：

某个工厂生产一种产品，有两种装配线选择，每条装配线都有n个装配站。可以单独用，装配线1或2加工生产，也可以使用装配线i的第j个装配站后，进入另一个装配线的第j+1个装配站继续生产。现想找出通过工厂装配线的最快方法。

装配线i的第j个装配站表示为$S_{i,j}$,在该站的装配时间是$a_{i,j}$
如果从 $S_{i,j}$装配站生产后，转移到另一个生产线继续生产所耗费的时间为$t_{i,j}$
进入装配线花费时间$e_i$,完成生产后离开装配线所耗费时间为$x_i$

令f*表示通过生产所有路线中的最快的时间
令$f_{i}[j]$表示从入口到装配站$S_{i,j}$的最快的时间.(i=1,2 ; j=1,2,…n;)

$f_{1}[1]$ = $e_1$ + $a_{1,1}$
$f_{2}[1]$ = $e_2$ + $a_{2,1}$

通过装配站$S_{1,j}$的最快路线可能是通过$S_{1,j-1}$站直接到$S_{1,j}$，也可能是通过$S_{2,j-1}$站，从装配线2到装配线1.

所以$f_{1}[j]$ = min($f_1[j-1$] + $a_{1,j}$ ,$f_2[j-1$] +$t_{2,j-1}$ + $a_{1,j}$ ) （j=2,3…n）
同理$f_{2}[j]$ = min($f_2[j-1$] + $a_{2,j}$ ,$f_1[j-1$] +$t_{1,j-1}$ + $a_{2,j}$ ) （j=2,3…n）

所以有递归公式：

动态规划思想

在求解$f_{1}[n]$和$f_{2}[n]$的过程中，需要求解$f_{1}[n-1]$和$f_{2}[n-1]$，继续向前迭代计算…
即需要计算所有出所有的$f_{i}[j]$,,i=0,1;j=1,2…n,此过程中需要不断的对同一个问题进行多次计算。
例如$f_1[n]$的次数$r_1[n]$为1,那么$r_1[n-1]$ =$r_1[n]$ +$r_2[n]$ ，$r_1[n-2]$ =$r_1[n-1]$ +$r_2[n-1]$ ，呈现指数增长，即$r_i[j] = 2^{n-j}$;
因为$f_i[j]$的值是由$f_1[j-1]$和$f_2[j-1]$决定，所以采用递增的站编号来计算$f_i[j]$，自底向上的方法。

例程

：

颜色深的线表示最快的装配路线
其中$l_i[j]$,表示，到达装配线i的第j个装配站的最快路线的位置，值为1或2。
l*表示产品最后出自哪个装配线值为1或2

/************************************************************************/
/* 
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算法导论--动态规划   
2015年6月1日                            */
/************************************************************************/
#include <stdio.h>

int f[2][6]={0};    //对应通过各个装配站的最短时间
int l[2][6]={0};    //对应通过各个装配站的来源
int __L;
int __F;

void Fastest_Way(int a[][6],int t[][5],int e[],int x[],int n)
{
    int j=0;
    f[0][0] = e[0]+ a[0][0];
    f[1][0] = e[1]+ a[1][0];
    for (j=1;j<n;j++)                          //自底向上开始计算f[i][j]的值，与l[i][j]的值
    {
        if (f[0][j-1]+a[0][j] <= f[1][j-1]+t[1][j-1]+a[0][j])
        {
            f[0][j] = f[0][j-1]+a[0][j];
            l[0][j] = 0;
        }
        else
        {
            f[0][j] = f[1][j-1]+t[1][j-1]+a[0][j];
            l[0][j] = 1;
        }


        if (f[1][j-1]+a[1][j] <= f[0][j-1]+t[0][j-1]+a[1][j])
        {
            f[1][j] = f[1][j-1]+a[1][j];
            l[1][j] = 1;
        }
        else
        {
            f[1][j] = f[0][j-1]+t[0][j-1]+a[1][j];
            l[1][j] = 0;
        }   
    }

    if (f[0][5] + x[0] <= f[1][5] + x[1])
    {
       __F = f[0][5]+x[0];              //  __F为通过装配线的最短时间  __L为产品最后出自哪个生产线
       __L = 0;
    }
    else
    {
       __F = f[1][5]+x[1];
       __L = 1;
    }



}


void Print_Station(int l[][6],int __L,int n)
{   
    /***********逆序输出**************************/


   /*   int j;   
    int i = __L;
    printf("line  %d ,  station  %d\n",i+1,n);
    for(j=n-1;j>=1;j--)
    {
        i = l[i][j];
        printf("line  %d ,  station  %d\n",i+1,j);
    }*/




/***********正序递归输出****************/
    if ( n==0 )
      return;
    __L = l[__L][n];
    Print_Station(l,__L,n-1);
    printf("line  %d ,  station  %d\n",l[__L][n]+1,n);

}
void main()
{


int a[2][6]={{7,9,3,4,8,4},
            {8,5,6,4,5,7}};
int t[2][5]={{2,3,1,3,4},
            {2,1,2,2,1}};
int x[2]={3,2};
int e[2]={2,4}; 

Fastest_Way(a,t,e,x,6);
Print_Station(l,__L,6);

}