钢条切割问题

现有一段长度为n英寸的钢条和一个价格表$p_i$,求切割方案使销售利益最大$r_n$最大

长度为n英寸的钢条共有$2^{n-1}$种不同的切割方案，因为可以每个整英寸的位置都可以决定切割或者不切割。

• 为了得到$r_n$最大，可以把这个问题分成子问题求解，先切一刀，再考虑余下的部分的最大收益即求
  $r_n$=max{$p_k+r_{n-k}$}（k=1,2,3…n-1），
  $p_k$部分不进行继续切割，直接作为一个整体售出 ;
  $r_{n-k}$部分继续切割，考虑所有的情况，分成子问题。
  求出所有k值对应的收益最大者作为$r_n$

• 也有可能不进行任何切割利益最大即$r_n =p_n$

  综上： $r_n = max(p_i+r_{n-i})$ (i=1,2,3…n , $r_0=0$)

动态规划求解

考虑上面的算法实现：$r_n = max(p_i+r_{n-i})$ (i=1,2,3…n , $r_0=0$)，为了计算出$r_n$必须计算出所有情况的切割方法，即有n个分支，第i个分支又对应着i个子分支，所以若采用递归调用计算所有情况，调用次数将是$2^n$次。运行时间为n的指数函数。

上面的分析知，其中重复计算了很多次子问题，如果有个好的计算顺序，子问题先计算一次，把结果保存下来，下次再遇到这个子问题，只需要查表即可。动态规划方法是付出额外的内存空间来节省计算时间。

带备忘的自顶向下法

仍采用递归的方法，但过程中保存已求解过子问题的解，当需要一个子问题的解时，首先检查是否已经保存过此解。

int Memoized_Cut_Rod(int *p,int n)
{   
    int i=0;
    int * r = (int *)malloc((n+1)*sizeof(int));  //分配空间，用来存储已经计算过的子问题
    for (i=0;i<=n;i++)                          //初始化
        r[i] = -1;
    return Memoized_Cut_Rod_Aux(p,n,r);         
}
int Memoized_Cut_Rod_Aux(int *p,int n,int *r)
{
    int q= -1,i;
    if (r[n] >=0)   //首先检查是否已经计算过，若有，直接返回
        return r[n];
    if (n == 0)     //钢条长度为0，收益为0
        q=0;
    else
    {
        q = -1;
        for (i=1;i<=n;i++) 
        {
           q=Max(q,p[i]+Memoized_Cut_Rod_Aux(p,n-i,r));   //自顶向下递归
        }
        r[n] = q;        //保存子问题的值
    }

    return q;        //返回最大的收益
}

自底向上法

把子问题按规模排序，按由小到大的顺序进行求解，当求解某个问题时，它所依赖的子问题已经被计算过，结果已经保存，这样每个子问题只需要计算一次。

int Bottom_Up_Cut_Rod(int *p,int n)
{
int * r = (int *)malloc((n+1)*sizeof(int));   //分配空间，用来存储已经计算过的子问题
int i,j,q=-1;
  r[0]=0;
  for (j=1;j<=n;j++)
    {
       q=-1;
       for(i=1;i<=j;i++)
       {
           q=Max(q,p[i]+r[j-i]);   //自底向上，由小到大求解子问题
       }
       r[j]=q;   //保存求解后的结果
    }
  return r[n];
}

重构解

上面的代码是返回的最大收益，并没有返回具体切割方法。下面代码保存了每种尺寸，对应的左边部分大小（即作为整体售出部分）

int Extended_Bottom_Up_Cut_Rod(int *p,int n)
{
    int * r = (int *)malloc((n+1)*sizeof(int));   
    int i,j,q=-1;
    s = (int *)malloc((n+1)*sizeof(int));  //保存每次切割前左边部分剩余尺寸
    s[0]=0;
    r[0]=0;
    for (j=1;j<=n;j++)
    {
        q=-1;
        for(i=1;i<=j;i++)
        {

            if (p[i]+r[j-i] > q)
            {
                s[j] = i;      //保存左边部分(作为整体售出的部分)
                q = p[i] + r[j-i];
            }
        }
        r[j]=q;
    }

    return r[n];
}

输入钢条的具体切割方法：

void Print_Cut_Rod_Solution(int *p,int n)
{
    while(n>0)
    {
        printf("%d   ",s[n]);   //循环输出尺寸为n的钢条切割方法
        n=n-s[n];
    }
}

例程

/************************************************************************
CSDN 勿在浮沙筑高台 
http://blog.csdn.net/luoshixian099
算法导论--动态规划（钢条切割）
2015年6月2日                    
************************************************************************/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int *s=NULL;
int Memoized_Cut_Rod_Aux(int *p,int n,int *r);
int Max(int a,int b)
{
    return a>b?a:b;
}
int Memoized_Cut_Rod(int *p,int n)
{   
    int i=0;
    int * r = (int *)malloc((n+1)*sizeof(int));  //分配空间，用来存储已经计算过的子问题
    for (i=0;i<=n;i++)                          //初始化
        r[i] = -1;
    return Memoized_Cut_Rod_Aux(p,n,r);         
}
int Memoized_Cut_Rod_Aux(int *p,int n,int *r)
{
    int q= -1,i;
    if (r[n] >=0)   //首先检查是否已经计算过，若有，直接返回
        return r[n];
    if (n == 0)     //钢条长度为0，收益为0
        q=0;
    else
    {
        q = -1;
        for (i=1;i<=n;i++)
        {
           q=Max(q,p[i]+Memoized_Cut_Rod_Aux(p,n-i,r));
        }
        r[n] = q;        //保存子问题的值
    }

    return q;        //返回最大的收益
}
int Bottom_Up_Cut_Rod(int *p,int n)
{
int * r = (int *)malloc((n+1)*sizeof(int));   //分配空间，用来存储已经计算过的子问题
int i,j,q=-1;
  r[0]=0;
  for (j=1;j<=n;j++)
    {
       q=-1;
       for(i=1;i<=j;i++)
       {
           q=Max(q,p[i]+r[j-i]);   //自底向上，由小到大求解子问题
       }
       r[j]=q;   //保存求解后的结果
    }
  return r[n];
}

int Extended_Bottom_Up_Cut_Rod(int *p,int n)
{
    int * r = (int *)malloc((n+1)*sizeof(int));   
    int i,j,q=-1;
    s = (int *)malloc((n+1)*sizeof(int));  //保存每次切割前左边部分剩余尺寸
    s[0]=0;
    r[0]=0;
    for (j=1;j<=n;j++)
    {
        q=-1;
        for(i=1;i<=j;i++)
        {

            if (p[i]+r[j-i] > q)
            {
                s[j] = i;      //保存左边部分(作为整体售出的部分)
                q = p[i] + r[j-i];
            }
        }
        r[j]=q;
    }

    return r[n];
}
void Print_Cut_Rod_Solution(int *p,int n)
{

    while(n>0)
    {
        printf("%d   ",s[n]);   //循环输出尺寸为n的钢条切割方法
        n=n-s[n];
    }
}
void main()
{
   int p[]={0,1,5,8,9,10,17,17,20,24,30};
   int i;
   for (i=1;i<=10;i++)
   {
     //printf("%d\n",Memoized_Cut_Rod(p,i));
     printf("尺寸为%d的最大收益：%d ",i,Extended_Bottom_Up_Cut_Rod(p,i));
    // printf("%d  \n",s[i]);
     printf("切割方法：");
     Print_Cut_Rod_Solution(p,i);
     free(s);
     s=NULL;
     printf("\n");
   }
}