决策树<Decision Tree>是一种预测模型，它由决策节点，分支和叶节点三个部分组成。决策节点代表一个样本测试，通常代表待分类样本的某个属性，在该属性上的不同测试结果代表一个分支；分支表示某个决策节点的不同取值。每个叶节点代表一种可能的分类结果。
使用训练集对决策树算法进行训练，得到一个决策树模型，利用模型对未知样本（类别未知）的类别判断时，从决策树根节点开始，从上到下搜索，直到沿某分支到达叶节点，叶节点的类别标签就是该未知样本的类别。
网上有个例子可以很形象的说明利用决策树决策的过程（母亲给女儿选对象的过程），如下图所示：
女儿：多大年纪了？
母亲：26。
女儿：长的帅不帅？
母亲：挺帅的。
女儿：收入高不？
母亲：不算很高，中等情况。
女儿：是公务员不？
母亲：是，在税务局上班呢。
女儿：那好，我去见见。
再看一个例子：数据集如下图所示，共有14个样本，每个样本有4个属性，分别表示天气，温度，湿度，是否刮风。最后一列代表分类结果，可以理解为是否适合出去郊游(play)。
下面是利用上面样本构建的决策树：
根据构建的模型，当再来一个样本<outlook = rainy, temperature = cool,humidity = normal windy = true>那么我们就可以从根节点开始向下搜索最后得到：no play。
仔细思考下，这有点类似FP-Tree算法中的构造树过程，但是绝不一样。事实上，相同的数据集，我们可以构建很多棵决策树，也不一定以outlook 作为根节点。FP-Tree只是单纯将所有样本信息存储到一个树上，而决策树显然有一个选取节点属性进行分类的过程。那么问题来了？该如何选取属性作为分类属性，将样本分为更小的子集？什么时候结束终止决策树的增长，使构建的决策树既对训练样本准确分类，而且对于未知样本（测试样本）也能够准确预测，可能的策略是所有的样本都属于同一类别或所有样本属性值都相等。
不同的决策树算法采用的策略不同，下面主要介绍C4.5 算法，主要学习C4.5选取节点划分子集的策略。
C4.5算法是由澳大利亚悉尼大学Ross Quinlan教授在1993年基于ID3算法的改进提出的，它能够处理连续型属性或离散型属性的数据；能够处理具有缺失值的属性数据；使用信息增益率而不是信息增益作为决策树的属性选择标准；对生成枝剪枝，降低过拟合。
如下为决策树算法框架：
TreeGrowth(E, F)//E--训练集 F—属性集
if stopping_cond(E, F) = true then //达到停止分裂条件（子集所有样本同为一类或其他）
leaf = createNode() //构建叶子结点
leaf.label = Classify(E) //叶子结点类别标签
return leaf
else<span style="white-space:pre">
root = createNode()<span style="white-space:pre"> //创建结点
root.test_cond = find_best_split(E, F) 确定选择哪个属性作为划分更小子集//
令 V = {v | v是root.test_cond 的一个可能的输出}
for each v V do
Ev = {e | root.test_cond(e) = v and e E}
child = TreeGrowth(Ev, F)
//添加child为root的子节点，并将边(root——>child)标记为v
end for
end if
return root而其中节点如何选择属性，正是C4.5要做的。
前面已经提到过：C4.5 使用信息增益率而不是信息增益作为决策树的属性选择标准。下面从熵开始逐步解释：
熵：信息论中对熵的解释，熵确定了要编码集合S中任意成员的分类所需要的最少二进制位数
pi 为集合S中第i类所占的比例。（具体举例见后面实例）
理解”最少”：
1. 对于2分类问题，用一个二进制位1和0描述足以分类；对于4分类问题，至少需要用两个二进制位描述00 01 10 11；c分类 log2(c)
2. 对于分类问题，还要考虑类的比例（样本不平衡问题），m+n个样本其中m个样本分类表示的二进制位数和n个样本表示的二进制位数不相同，所有熵的定义还存在着一种加权平均的思想。
简单来说，它刻画了任意样本集的纯度，越纯，熵越小。
换句话说，“变量的不确定性越大，熵就越大，一个系统越是有序，信息熵就越低(百度百科)
对于二分类问题，熵在[0,1]之间，如果所有样本都属于同一类，熵为0，这个时候给定一个样本，类别就是确定的。如果不同的样本各占一半，熵为1=1/2+1/2，这个时候如果给定一个样本来分类，就完全无法确定了，就好像我们抛硬币完全无法预测它是正面还是反面朝上一样。
对于c分类问题，熵在[0 log2(c)]之间。
C4.5中用到的几个公式：
1 训练集的信息熵
其中 m代表分类数，pi为数据集中每个类别所占样本总数的比例。
2 划分信息熵----假设选择属性A划分数据集S，计算属性A对集合S的划分信息熵值
case 1：A为离散类型，有k个不同取值，根据属性的k个不同取值将S划分为k各子集{s1 s2 ...sk}，则属性A划分S的划分信息熵为：(其中 |Si| |S| 表示包含的样本个数)
case 2: A为连续型数据，则按属性A的取值递增排序，将每对相邻值的中点看作可能的分裂点，对每个可能的分裂点，计算：
其中，SL和SR分别对应于该分裂点划分的左右两部分子集，选择EntropyA(S)值最小的分裂点作为属性A的最佳分裂点，并以该最佳分裂点按属性A对集合S的划分熵值作为属性A划分S的熵值。
3 信息增益
按属性A划分数据集S的信息增益Gain(S,A)为样本集S的熵减去按属性A划分S后的样本子集的熵，即
4 分裂信息
利用引入属性的分裂信息来调节信息增益
5 信息增益率
信息增益率将分裂信息作为分母，属性取值数目越大，分裂信息值越大，从而部分抵消了属性取值数目所带来的影响。
相比ID3直接使用信息熵的增益选取最佳属性，避免因某属性有较多分类取值因而有较大的信息熵，从而更容易被选中作为划分属性的情况。公式略多，看得眼花缭乱，其实就是为了得到信息增益率。
下面以博客开始介绍的天气数据集为例，进行属性选取。
具体过程如图所示:
根节点选取outlook属性后就得到如下划分：
递归进行如上过程，就得到了博客开头的决策树。
本文引用了部分《数据挖掘与机器学习WEKA应用技术与实践》中的内容，并修改了原书中决策树计算错误之处，书中outlook的信息增益率为0.44是错误的。
转载请申明： http://blog.csdn.net/u010498696/article/details/46333911
参考文献： 《数据挖掘与机器学习WEKA应用技术与实践》
原文地址：http://blog.csdn.net/u010498696/article/details/46333911
