Python + Matplotlib 绘制 Aztec Diamond 图的随机铺砌

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一个 $n$ 阶的 Aztec Diamond 图，是指依次将 $2,4,\ldots,2n,2n,\ldots,4,2$ 个单位方格摞在一起得到的对称图形（于是图中一共有 $2n(n+1)$ 个单位方格）。下图是 $n=5$ 时候的例子：

对一个 $n$ 阶的 Aztec Diamond 图，用 $1\times 2$ 的多米诺骨牌铺砌它，总共有 $2^{n(n+1)}$ 种不同的方法。（这里不考虑对称性，比如全部用水平的骨牌铺砌和全部用竖直的骨牌铺砌，两种方法是不同的）

一个有趣的问题是，对给定的 $n$ 阶 Aztec Diamond，怎样从它的所有 $2^{n(n+1)}$ 种铺砌中等概率地任选一种？当 $n$ 很大时，这个事情并不好做。

下面这个图显示了 $n=80$ 时 Aztec Diamond 图的一个随机铺砌，它使用的是 Propp 论文中的 Domino Shuffling 算法：

你可以看到图中出现了一个近似圆形的区域，在区域的内部，骨牌的排列是变化的，而区域外部则是 "冻结" 的，这就是所谓的 "北极圈" 现象。

这个图是我用 Python + Matplotlib 绘制的，代码在这里下载：domino.py。你可以把程序最后的参数 80 改成其它的整数（最好不要超过 200）。Matplotlib 库绘图的效率并不高，$n$ 很大时比较吃力，用 Cairo 库效率要高很多，但是 Cairo 的代码不如 Matplotlib 简洁。

一点注意事项：

• Matplotlib 的参数 ‘aspect‘ 要设置为 1，否则它输出的图形会拉伸。
• 程序中，用一个字典的数据结构保存铺砌，键 $(j,k)$ 表示以坐标整点 $(j,k)$ 为左下角的单位正方形，其值 $‘n‘,‘s‘,‘w‘,‘e‘,‘x‘$ 表示骨牌的状态，其中 $‘x‘$ 表示 "洞"。
• 在 create 一步中，当把 $2\times2$ 的 "窟窿" 用一对骨牌填充时，一定要注意所用骨牌的状态，它们是一对方向相反的骨牌。

关于这个算法的更多故事，我会在后面的文章中介绍。

Python + Matplotlib 绘制 Aztec Diamond 图的随机铺砌

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原文地址：http://www.cnblogs.com/xida/p/4563411.html