码迷,mamicode.com
首页 > 编程语言 > 详细

利用移位、加减法实现整数开平方算法的方法(转)

时间:2015-06-15 18:19:38      阅读:239      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:

本算法只采用移位、加减法、判断和循环实现,因为它不需要浮点运算,也不需要乘除运算,因此可以很方便地运用到各种芯片上去。

我们先来看看10进制下是如何手工计算开方的。
先看下面两个算式,
x = 10*p + q  (1)
公式(1)左右平方之后得:
x^2 = 100*p^2 + 20pq + q^2 (2)
现在假设我们知道x^2和p,希望求出q来,求出了q也就求出了x^2的开方x了。
我们把公式(2)改写为如下格式:
q = (x^2 - 100*p^2)/(20*p+q) (3)

这个算式左右都有q,因此无法直接计算出q来,因此手工的开方算法和手工除法算法一样有一步需要猜值。

我们来一个手工计算的例子:计算1234567890的开方

首先我们把这个数两位两位一组分开,计算出最高位为3。也就是(3)中的p,最下面一行的334为余数,也就是公式(3)中的(x^2 - 100*p^2)近似值
    3
  ---------------
 / 12 34 56 78 90
    9
  ---------------
 /  3 34

下面我们要找到一个0-9的数q使它最接近满足公式(3)。我们先把p乘以20写在334左边:
                           3  q
                         ---------------
                        / 12 34 56 78 90
                           9
                         ---------------
(20*3+q)*q      /  3 34

我们看到q为5时(60+q)*q的值最接近334,而且不超过334。于是我们得到:
      3  5
    ---------------
   / 12 34 56 78 90
      9
    ---------------
65 /  3 34
      3 25
    ---------------
         9 56

接下来就是重复上面的步骤了,这里就不再啰嗦了。

这个手工算法其实和10进制关系不大,因此我们可以很容易的把它改为二进制,改为二进制之后,公式(3)就变成了:
q = (x^2 - 4*p^2)/(4*p+q) (4)

我们来看一个例子,计算100(二进制1100100)的开方:
       1  0  1  0
      -----------
     / 1 10 01 00
       1
      -----------
 100 / 0 10 
       0 00 
      -----------
1001 /   10 01
         10 01
      -----------
          0 00

这里每一步不再是把p乘以20了,而是把p乘以4,也就是把p右移两位,而由于q的值只能为0或者1,所以我们只需要判断余数(x^2 - 4*p^2)和(4*p+1)的大小关系,如果余数大于等于(4*p+q)那么该上一个1,否则该上一个0。

下面给出完成的C语言程序,其中root表示p,rem表示每步计算之后的余数,divisor表示(4*p+1),通过a>>30取a的最高 2位,通过a<<=2将计算后的最高2位剔除。其中root的两次<<1相当于4*p。程序完全是按照手工计算改写的,应该不难理解。
unsigned short sqrt(unsigned long a){
  unsigned long rem = 0;
  unsigned long root = 0;
  unsigned long divisor = 0;
  for(int i=0; i<16; ++i){
    root <<= 1;
    rem = ((rem << 2) + (a >> 30));
    a <<= 2;
    divisor = (root<<1) + 1;
    if(divisor <= rem){
      rem -= divisor;
      root++;
    }
  }
  return (unsigned short)(root);
}

posted on 2008-01-23 14:21 QUIRE-0216 阅读(2127) 评论(1)  编辑 收藏 引用 所属分类: Arithmetic(算法)

技术分享

Feedback

# re: 利用移位、加减法实现整数开平方算法的方法(转) 2008-01-23 14:46 QUIRE-0216
为了大家能理解我把上面 1234567890 给做完! 
              3 5 q 
               --------------- 
               / 12 34 56 78 90 
               9 
               --------------- 
               65 / 3 34 
               3 25 
               --------------- 
(20*35+q)*q /  9 56 
我们看到q为1时(700+q)*q的值最接近956,而且不超过956。于是我们得到: 
              3 5 1 q 
               --------------- 
               / 12 34 56 78 90 
               9 
               --------------- 
               65 / 3 34 
               3 25 
               --------------- 
701 /   9 56 
7 01 
---------------- 
(20*351+q)*q / 2 55 78 

我们看到q为3时(20*351+q)*q的值最接近25578,而且不超过25578。于是我们得到: 

              3 5 1 3 q 
               --------------- 
               / 12 34 56 78 90 
               9 
               --------------- 
               65 / 3 34 
               3 25 
               --------------- 
701 /   9 56 
7 01 
---------------- 
7023 / 2 55 78 
2 10 69 
---------------- 
(20*3513+q)*q / 45 0990 

我们看到q为6时(20*3513+q)*q的值最接近450990,而且不超过450990。于是我们得到: 
              3 5 1 3 6 
               --------------- 
               / 12 34 56 78 90 
               9 
               --------------- 
               65 / 3 34 
               3 25 
               --------------- 
701 /   9 56 
7 01 
---------------- 
7023 / 2 55 78 
2 10 69 
---------------- 
70266 / 45 0990 
42 1596 
---------------- 
2 9394 

至此1234567890的根为35136.我想能看明白吧! 

利用移位、加减法实现整数开平方算法的方法(转)

标签:

原文地址:http://www.cnblogs.com/socquan/p/4578673.html

(0)
(0)
   
举报
评论 一句话评论(0
登录后才能评论!
© 2014 mamicode.com 版权所有  联系我们:gaon5@hotmail.com
迷上了代码!