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【算法】逆波兰表达式

时间:2015-06-16 16:17:44      阅读:136      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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表达式一般由操作数(Operand)、运算符(Operator)组成,例如算术表达式中,通常把运算符放在两个操作数的中间,
这称为中缀表达式(Infix Expression),如A+B。
波兰数学家Jan Lukasiewicz提出了另一种数学表示法,它有两种表示形式:
把运算符写在操作数之前,称为波兰表达式(Polish Expression)或前缀表达式(Prefix Expression),如+AB;
把运算符写在操作数之后,称为逆波兰表达式(Reverse Polish Expression)或后缀表达式(Suffix Expression),如AB+;
其中,逆波兰表达式在编译技术中有着普遍的应用。
 
算法:
一、 将中缀表达式转换成后缀表达式算法:
1、从左至右扫描一中缀表达式。
2、若读取的是操作数,则判断该操作数的类型,并将该操作数存入操作数堆栈
3、若读取的是运算符
  (1) 该运算符为左括号"(",则直接存入运算符堆栈。
  (2) 该运算符为右括号")",则输出运算符堆栈中的运算符到操作数堆栈,直到遇到左括号为止。
  (3) 该运算符为非括号运算符:
      (a) 若运算符堆栈栈顶的运算符为括号,则直接存入运算符堆栈。
      (b) 若比运算符堆栈栈顶的运算符优先级高,则直接存入运算符堆栈。
      (c) 若比运算符堆栈栈顶的运算符优先级低或相等,则输出栈顶运算符到操作数堆栈,并将当前运算符压入运算符堆栈。
4、当表达式读取完成后运算符堆栈中尚有运算符时,则依序取出运算符到操作数堆栈,直到运算符堆栈为空。
 
二、逆波兰表达式求值算法:
1、循环扫描语法单元的项目。
2、如果扫描的项目是操作数,则将其压入操作数堆栈,并扫描下一个项目。
3、如果扫描的项目是一个二元运算符,则对栈的顶上两个操作数执行该运算。
4、如果扫描的项目是一个一元运算符,则对栈的最顶上操作数执行该运算。
5、将运算结果重新压入堆栈。
6、重复步骤2-5,堆栈中即为结果值。
 
 
 

  C语言讲解【复合复制运算符】时会提到,复合运算简练并且产生机器码的效率高。为什么效率高呢,

这就必须要了解:【编译原理】中提到的【逆波兰式】。逆波兰表达式又叫做【后缀表达式】。推而广之必然还

存在【前缀表达式】、【中缀表达式。】(有时也成为,前序式,中序式,后序式)。中缀表达式就是我们常用的

所谓的标准的表达式如"A+B",它在数学上学名叫中缀表达式(Infix Notation),原因是:

运算符号在两个运算对象的中间。

      其优势: 在于只:用两种简单操作,入栈和出栈就可以搞定任何普通表达式(仅包含:+-*/和()的表达式)的运算。

      其基本运算方式 :如果当前字符为变量或者为数字,则压栈,如果是运算符,则将栈顶两个元素弹出作相应运算,结果再入栈,最后当表达式扫描完后,栈里的就是结果。

      为什么说逆波兰式产生机器码的效率高:因为逆波兰式非常易于计算机的处理。原因是这样的。举例:

     3   32   + 5 3   *   -
  12 34 2   -   *   8 /
  乍一看上面两个式子很奇怪,是吗?它们就是一种表达式的记法——逆波兰表达式。
  现在,准备一个很窄的圆筒技术分享,筒是有底的,像一个细长的杯子技术分享,粗细刚好和一枚硬币相当。再做几个和硬币一样大的小圆纸片技术分享,在纸片上依次写上“3”“32”“+”“5”“3”“*”“-”,记住,每个纸片上要么只写一个数,要么只写一个运算符号技术分享,把它们按上面的顺序排好。好,现在仔细听我说,按顺序一个接一个地拿起小圆纸片,反复执行以下几个规则:
  1. 如果你拿着的是一个数,不多说,直接把它放进圆筒;
  2. 如果你拿着的是一个运算符号,不要把它放进去。先从圆筒里取出两个数(当然是先取最上而的啦,筒很细的),然后处这两个数作运算符号指定的运算,并把结果写在一张新的纸片上,然后放进筒里。比如你拿着的是“+”,你要依次取出“32”和“3”,让它们相加,得“35”,把“35”写在一张新纸片上(现在“34”和“12”可以扔掉了),并把这张新纸片放进圆筒。
  当圆筒里只有一个数时,你就可以停下来了,我猜技术分享这个数是20,没错,这就是这个表达式的值!
  我们刚才操作的,其实就是一个“栈”,栈是一种数据结构技术分享,具有一个性质——后进先出(LIFO——Last Input First Output),你已经深有体会了,就像一摞盘子,你只能从最上面的开始取,放的时候也只能放在最上面。放进去的动作叫做“入栈”,取出来叫做“弹出”。以后你就可以把栈想像成一摞盘子,或是上面说的小圆筒和小纸片,栈就是这么简单技术分享
  逆波兰表达式虽然看起来比较繁琐,其实在计算机中很有用。计算机可不知道先乘除后加减,先括号内后括号外,它要把你输入的式子变成逆波兰表达式,它就可以不断地执行上面两个固定的规则,直至把结果算出来告诉你。技术分享,编译器在处理时候按照从左至右的顺序读取逆波兰表达式,遇到运算对象直接压入堆栈,遇到运算符就从堆栈提取后进的两个对象进行计算,这个过程正好符合了计算机计算的原理。所以,逆波兰式非常适宜计算机的处理。

       那么,接下来的问题就是:

      将一个中缀表达式 转换成 逆波兰式的算法: 结合一个具体例子分析如下:

a)给出一个中缀表达式1*(2+3)

 

b)系统先定义两个先进后出的堆栈:运算符号栈(简称入栈in),后缀表达式输出符号栈(简称出栈out)

 

c)系统按从左至右的顺序读取中缀表达式

 

d)读入数字直接压入出栈(out)

 

e)读入第一个运算符直接压入入栈(in)

 

f)读入"("直接压入入栈(in)。 按上述规则读取若干次后,若,此时两栈的数据为: in 【*,( 】 ; out 【1,2】,开始读取的第二个的运算符"+",并将之与入栈(in)中的栈顶运算符"("进行比较,

g)高于栈顶运算符级别的算符直接进栈,低于或等于栈顶级别的要将入栈(in)解栈(即出栈),按次压入出栈(out)中。比如现在入栈的运算顺序为(,*,/,此时若系统读取的运算符为+,级别比/要低,此时要按/,*的顺序压入出栈out中,并在入栈中释放/和*符号,最后得到 in ( ; out /,*的结果。

f)最后读取")"时要找到入栈in中最近的"(",将其前面所有符号全部按后进先出的顺序压入出栈,并解压,"("与")"抵消。此时两栈的数据为:in 1,2,3,+ ; out *

 

g)系统读取中缀表达式结束后将入栈in中的所有符号按后进先出的顺序全部解压,并依次压入出栈out中,最后出栈的结果就应该为1,2,3,+,*

 

h)按先进先出的顺序将出栈out解压得到后缀标准表达式1,2,3,+,*

 

两个堆栈先后数据情况:

In

out

 

1

*

1

*,(

1

*,(

1,2

*,(,+

1,2

*,(,+

1,2,3

*

1,2,3,+

 

1,2,3,+,*

 

将中缀表达式转换成逆波兰表达式过程中,特别要注意对于中缀标到式中括号的处理。

1、要注意的,如果算符是"(",无论入栈中栈顶级别(只看栈顶)为何直接入栈,所以,“(”的等级

    只用于对其后入栈的算符进行优先级比较,在“(”入栈时是无视优先级的。

    注: 逆波兰用的优先级有以下几种:   等级从高-->低 是:   1、* \       2、+ -       3、(        4、)

2、在遇到")"时候找到最后进入的"(",并把"("前面所有的符号都压入出栈。不能仅凭运算符的级别来判断。

 

将一个 逆波兰式 倒转回 中缀表达式 的算法:

   这个就相当简单了,就是一个机械的入堆栈出堆栈的操作,

1)设置一个堆栈,将逆波兰式从左到右开始进行出入堆栈操作,还以上例为例:1,2,3,+,*

2)遇到数字直接压栈;例如,上例逆波兰先进行三次入栈操作,堆栈的格局是: 1,2,3(栈顶);

3)遇到算符,将堆栈中的两个数字出栈。 如,读到+号后,2,3出栈,进行运算。注意,出栈时先出栈的元素是右算子,后出栈的是左算子,上例是2+3,不是3+2;

4)将运算的结果作为新的算子,压入堆栈中。如运算结果(2+3)入栈,堆栈格局:1,(2+3);

5)反复1-4的操作,得到的中序表达式就是: 1*(2+3);

   中序表式生成的逆波兰式唯一吗?:

是唯一的,和固定形式的中序表达式一一对应,但,请注意这个概念,

例如: a+(b-c)*d 和 (b-c)*d+a 和 a+d*(b-c) 的值是完全一样的。但是,他们的中序形式不同,

产生的逆波兰式必然是不同的。

      a+(b-c)*d : abc-d*+

      (b-c)*d+a :   bc-d*a+

      a+d*(b-c) : adbc-*+

【算法】逆波兰表达式

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