CUDA系列学习（五）GPU基础算法: Reduce, Scan, Histogram

喵~不知不觉到了CUDA系列学习第五讲，前几讲中我们主要介绍了基础GPU中的软硬件结构，内存管理，task类型等；这一讲中我们将介绍3个基础的GPU算法：reduce，scan，histogram，它们在并行算法中非常常用，我们在本文中分别就其功能用处，串行与并行实现进行阐述。

1. Task complexity

task complexity包括step complexity（可以并行成几个操作） & work complexity（总共有多少个工作要做）。
e.g. 下面的tree-structure图中每个节点表示一个操作数，每条边表示一个操作，同层edge表示相同操作，问该图表示的task的step complexity & work complexity分别是多少。

Ans:
step complexity: 3；
work complexity: 6。
下面会有更具体的例子。

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2. Reduce

引入：我们考虑一个task：1+2+3+4+…
1) 最简单的顺序执行顺序组织为((1+2)+3)+4…
2) 由于operation之间没有依赖关系，我们可以用Reduce简化操作，它可以减少serial implementation的步数。

2.1 what is reduce?

Reduce input:

1. set of elements
2. reduction operation
   
   1. binary: 两个输入一个输出
   2. 操作满足结合律： (a@b)@c = a@(b@c), 其中@表示operator
      e.g +, 按位与 都符合；a^b(expotentiation)和减法都不是

2.1.1 Serial implementation of Reduce:

reduce的每一步操作都依赖于其前一个操作的结果。比如对于前面那个例子，n个数相加，work complexity 和 step complexity都是O(n)（原因不言自明吧~）我们的目标就是并行化操作，降下来step complexity. e.g add serial reduce -> parallel reduce。

2.1.2 Parallel implementation of Reduce:

也就是说，我们把step complexity降到了$log_2n$
那么如果对$2^{10}$个数做parallel reduce add，其step complexity就是10. 那么在这个parallel reduce的第一步，我们需要做512个加法，这对modern gpu不是啥大问题，但是如果我们要对$2^{20}$个数做加法呢？就需要考虑到gpu数量了，如果说gpu最多能并行做512个操作，我们就应将$2^{20}$个数分成1024*1024(共1024组)，每次做$2^{10}$个数的加法。这种考虑task规模和gpu数量关系的做法有个理论叫Brent’s Theory. 下面我们具体来看：

也就是进行两步操作，第一步分成1024个block，每个block做加法；第二步将这1024个结果再用1个1024个thread的block进行求和。kernel code：

__global__ void parallel_reduce_kernel(float *d_out, float* d_in){
    int myID = threadIdx.x + blockIdx.x * blockDim.x;
    int tid = threadIdx.x;

    //divide threads into two parts according to threadID, and add the right part to the left one, lead to reducing half elements, called an iteration; iterate until left only one element
    for(unsigned int s = blockDim.x / 2 ; s>0; s>>1){
        if(tid<s){
            d_in[myID] += d_in[myID + s];
        }
        __syncthreads(); //ensure all adds at one iteration are done
    }
    if (tid == 0){
        d_out[blockIdx.x] = d_in[myId];
    }
}

Quiz: 看一下上面的code可以从哪里进行优化？
Ans：我们在上一讲中提到了global，shared & local memory的速度，那么这里对于global memory的操作可以更改为shared memory，从而进行提速：

__global__ void parallel_shared_reduce_kernel(float *d_out, float* d_in){
    int myID = threadIdx.x + blockIdx.x * blockDim.x;
    int tid = threadIdx.x;
    extern __shared__ float sdata[];
    sdata[tid] = d_in[myID];
    __syncthreads();

    //divide threads into two parts according to threadID, and add the right part to the left one, lead to reducing half elements, called an iteration; iterate until left only one element
    for(unsigned int s = blockDim.x / 2 ; s>0; s>>1){
        if(tid<s){
            sdata[myID] += sdata[myID + s];
        }
        __syncthreads(); //ensure all adds at one iteration are done
    }
    if (tid == 0){
        d_out[blockIdx.x] = sdata[myId];
    }
}

优化的代码中还有一点要注意，就是声明的时候记得我们第三讲中说过的kernel通用表示形式：

kernel<<<grid of blocks, block of threads, shmem>>>

最后一项要在call kernel的时候声明好，即:

parallel_reduce_kernel<<<blocks, threads, threads*sizeof(float)>>>(data_out, data_in);

好，那么问题来了，对于这两个版本（parallel_reduce_kernel 和 parallel_shared_reduce_kernel）, parallel_reduce_kernel比parallel_shared_reduce_kernel多用了几倍的global memory带宽？ Ans: 分别考虑两个版本的读写操作：

parallel_reduce_kernel

parallel_shared_reduce_kernel

所以，parallel_reduce_kernel所需的带宽是parallel_shared_reduce_kernel的3倍。

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3. Scan

3.1 what is scan?

• Example:

  • input: 1,2,3,4
  • operation: Add
  • ouput: 1,3,6,10（out[i]=sum(in[0:i])）

• 目的：解决难以并行的问题

拍拍脑袋想想上面这个问题O(n)的一个解法是out[i] = out[i-1] + in[i].下面我们来引入scan。

Inputs to scan:

1. input array
2. 操作：binary & 满足结合律（和reduce一样）
3. identity element [I op a = a], 其中I 是identity element
   quiz: what is the identity for 加法，乘法，逻辑与，逻辑或？
   Ans：

op	Identity
加法	0
乘法	1
逻辑或||	False
逻辑与&&	True

3.2 what scan does?

I/O	content
input	[$a_0$	$a_1$	$a_2$	…	$a_n$]
output	[$I$	$a_0$	$a_0\bigotimes a_1$	…	$a_0\bigotimes a_1\bigotimes$ …$\bigotimes a_n$]

其中$\bigotimes$是scan operator，I 是$\bigotimes$的identity element

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3.2.1 Serial implementation of Scan

很简单：

int acc = identity;
for(i=0;i<elements.length();i++){
    acc = acc op elements[i];
    out[i] = acc;
}

work complexity: $O(n)$
step complexity: $O(n)$

那么，对于scan问题，我们怎样对其进行并行化呢？

3.2.1 Parallel implementation of Scan

考虑scan的并行化，可以并行计算n个output，每个output元素i相当于$a_0\bigotimes a_1\bigotimes$ …$\bigotimes a_i$，是一个reduce operation。

Q: 那么问题的work complexity和step complexity分别变为多少了呢？
Ans:

• step complexity:
  取决于n个reduction中耗时最长的，即$O(log_2n)$
• work complexity:
  对于每个output元素进行计算，总计算量为0+1+2+…+(n-1)，所以复杂度为$O(n^2)$.

可见，step complexity降下来了，可惜work complexity上去了，那么怎么解决呢？这里有两种Scan算法：

	more step efficiency	more work efficiency
hillis + steele （1986）	√
blelloch （1990）		√

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1. Hillis + Steele
   
   对于Scan加法问题，hillis+steele算法的解决方案如下：

即streaming’s
step 0: out[i] = in[i] + in[i-1];
step 1: out[i] = in[i] + in[i-2];
step 2: out[i] = in[i] + in[i-4];
如果元素不存在（向下越界）就记为0；可见step 2的output就是scan 加法的结果(想想为什么，我们一会再分析)。

那么问题来了。。。
Q: hillis + steele算法的work complexity 和 step complexity分别为多少？

Hillis + steele Algorithm complexity

	$log(n)$	$O(\sqrt n)$	$O(n)$	$O(nlogn)$	O(n^2)
work complexity				√
step complexity	√

解释：

为了不妨碍大家思路，我在表格中将答案设为了白色，选中表格可见答案。

1. step complexity：
   因为第i个step的结果为上一步输出作为in, out[idx] = in[idx] + in[idx - 2^i], 所以step complexity = $O(log(n))$
2. work complexity:
   workload = $(n-1) + (n-2)+ (n-4)+ ...$ ，共有$log(n)$项元素相加，所以可以近似看做一个矩阵，对应上图，长$log(n)$, 宽n，所以复杂度为 $nlog(n)$。

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2 .Blelloch

基本思路：Reduce + downsweep

还是先讲做法。我们来看Blelloch算法的具体流程，分为reduce和downsweep 两部分，如图所示。

1. reduce部分：
   每个step对相邻两个元素进行求和，但是每个元素在input中只出现一次，即window size=2, step = 2的求和。
   Q: reduce部分的step complexity 和 work complexity？
   Ans：

   Reduce part in Blelloch

   	$log(n)$	$O(\sqrt n)$	$O(n)$	$O(nlogn)$	O(n^2)
   work complexity			√
   step complexity	√

   我们依然将答案用白色标出，请选中看答案。
   
   

2. downsweep部分：
   简单地说，downsweep部分的输入元素是reduce部分镜面反射的结果，对于每一组输入in1 & in2有两个输出，左边输出out1 = in2，右边输出out2 = in1 op in2 （这里的op就是reduce部分的op），如图：

如上上图中的op为加法，那举个例子就有：in1 = 11, in2 = 10, 可得out1 = in2 = 10， out2 = in1 + in2 = 21。由此可以推出downsweep部分的所有value，如上上图。
这里画圈的元素都是从reduce部分直接“天降”（镜面反射）过来的，注意，每一个元素位置只去reduce出来该位置的最终结果，而且由于是镜面反射，step层数越大的reduce计算结果“天降”越快，即从reduce的“天降”顺序为

36

10

3, 11

1, 3, 5, 7

Q: downsweep部分的step complexity 和 work complexity？
And：downsweep是reduce部分的mirror，所以当然和reduce部分的complexity都一样啦。

综上，Blelloch方法的work complexity为$O(n)$，step 数为$2\cdot log(n)$.这里我们可以看出相比于Hillis + Steele方法，Blelloch的总工作量更小。那么问题来了，这两种方法哪个更快呢？

ANS：这取决于所用的GPU，问题规模，以及实现时的优化方法。这一边是一个不断变化的问题：一开始我们有很多data（work > processor）, 更适合用work efficient parallel algorithm (e.g Blelloch), 随着程序运行，工作量被减少了（processor > work），适合改用step efficient parallel algorithm，这样而后数据又多起来啦，于是我们又适合用work efficient parallel algorithm…

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总结一下，见下表为每种方法的complexity，以及适于解决的问题：

	serial	Hillis + Steele	Blelloch
work	O(n)	O(nlogn)	O(n)
step	n	log(n)	2*log(n)
512个元素的vector 512个processor		√
一百万的vector 512个processor			√
128k的vector 1个processor	√

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4. Histogram

4.1. what is histogram?

顾名思义，统计直方图就是将一个统计量在直方图中显示出来。

4.2. Histogram 的 Serial 实现：

分两部分：1. 初始化，2. 统计

for(i = 0; i < bin.count; i++)
    res[i] = 0;
for(i = 0; i<nElements; i++)
    res[computeBin(i)] ++;

4.3. Histogram 的 Parallel 实现：

1. 直接实现：

kernel:

__global__ void naive_histo(int* d_bins, const int* d_in, const in BIN_COUNT){
    int myID = threadIdx.x + blockDim.x * blockIdx.x;
    int myItem = d_in[myID];
    int myBin = myItem % BIN_COUNT;
    d_bins[myBin]++;
}

来想想这样有什么问题？又是我们上次说的read-modify-write问题，而serial implementation不会有这个问题，那么想实现parallel histogram计算有什么方法呢？

法1. accumulate using atomics
即，将最后一句变成
atomicAdd(&(d_bins[myBin]), 1);
但是对于atomics的方法而言，不管GPU多好，并行线程数都被限制到histogram个数N，也就是最多只有N个线程并行。


法2. local memory + reduce
设置n个并行线程，每个线程都有自己的local histogram（一个长为bin数的vector）；即每个local histogram都被一个thread顺序访问，所以这样没有shared memory，即便没有用atomics也不会出现read-modify-write问题。
然后，我们将这n个histogram进行合并（即加和），可以通过reduce实现。

法3. sort then reduce by key
将数据组织成key-value对，key为histogram bin，value为1，即

key	2	1	1	2	1	0	2	2
value	1	1	1	1	1	1	1	1

将其按key排序，形成：

key	0	1	1	1	2	2	2	2
value	1	1	1	1	1	1	1	1

然后对相同key进行reduce求和，就可以得到histogram中的每个bin的总数。

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综上，有三种实现paralle histogram的方法：
1. atomics
2. per_thread histogram, then reduce
3. sort, then reduce by key

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5. 总结：

本文介绍了三个gpu基础算法：reduce，scan和histogram的串行及并行实现，并巩固了之前讲过的gpu memory相关知识加以运用。