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《统计学习方法》第9章 EM算法及其推广

EM算法是一种迭代算法，用于含有隐含变量（hidden variable）的概率模型参数的极大似然估计，或极大后验概率估计。

EM算法的每次迭代由两步组成：

• E步，求期望（expectation）；
• M步，求极大（maximization）。

所以这一算法成为期望极大算法（expectation maximization algorithm），简称EM算法。

1. EM算法的引入

概率模型有时既含有观测变量（observable variable），又含有隐变量或潜在变量（latent variable）。如果概率模型的变量都是观测变量，那么给定数据，可以直接用极大似然估计法，或贝叶斯估计发估计模型参数。但是，当模型含有隐变量时，就不能简单地使用这些估计方法。EM算法就是含有隐变量的概率模型参数的极大似然估计法，或极大后验概率估计法。我们在这里只讨论极大似然估计，极大后验概率估计与其类似。

1.1 EM算法

首先介绍一个使用EM算法的例子。

三硬币模型 假设有3枚硬币，分别记作A，B，C。这些硬币正面出现的概率分别是a, b, c。进行如下抛硬币试验：先掷硬币A，根据其结果选出硬币B或硬币C，正面选硬币B，反面选硬币C；然后掷选出的硬币，掷硬币的结果，出现正面记作1，出现反面记作0；独立地重复n次试验（这里，n=10），观测结果如下：

1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1

假设只能观测到掷硬币的结果，不能观测掷硬币的过程。问如何估计三硬币正面出现的概率，即三硬币模型的参数。

解 三硬币模型可以写作

$P(y|\theta)=\sum_{z}{P(y,z|\theta)}=\sum_{z}{P(z|\theta)P(y|z,\theta)}=ab^y(1-b)^{1-y}+(1-a)c^y(1-c)^{1-y}$

这里，随机变量y是观测变量，表示一次试验观测的结果是1或0；随机变量z是隐变量，表示未观测到的掷硬币A的结果；$\theta=(a,b,c)$是模型参数。这一模型是以上数据的生成模型。

将观测数据表示为$Y=(Y_1,Y_2,…,Y_n)^T$，未观测数据表示为$Z=(Z_1,Z_2,…,Z_n)^T$，则观测数据的似然函数为：

$P(Y|\theta)=\sum_{Z}{P(Z|\theta)P(Y|Z,\theta)}$

即

EM算法

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原文地址：http://www.cnblogs.com/qwertWZ/p/4597804.html