用在线的Macaulay2把曲线参数方程变成隐函数形式

希望把如下曲线的参数方程变成隐函数$F(x,y)=0$形式:

$$\left\{\; \begin{array}{rl} x=& \dfrac{2 t \left(3 t^4+50 t^2-33\right)}{\left(t^2+1\right)^3} \y=& \dfrac{2 \left(7 t^6-60 t^4+15 t^2+2\right)}{\left(t^2+1\right)^3} \\end{array} \right.$$

这类问题在代数几何里已经解决得很漂亮了。具体的方法和原理参考文献

实施: 点击在浏览器中打开Macaulay2在线版
可以看到分左右两栏的界面,左侧是帮助和提示,右侧是输入输出窗口。

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输入如下命令：

R=QQ[s,t,x,y,z,MonomialOrder=>Eliminate 2]
I=ideal(x-2*s*t*(3*t^4+50*t^2*s^2-33*s^4),y-2*(7*t^6-60*t^4*s^2+15*t^2*s^4+2*s^6),z-(t^2+s^2)^3)
gens gb I

大致是:
1. 定义一个多项式环;
2. 基于曲线的参数方程,生成多项式环的一个理想;
3. 求该理想的Groebner基,并消去 $s,t$ ,

取其中的输出:

o6 = 625x6+1875x4y2+1875x2y4+625y6-182250x4yz+364500x2y3z-36450y5z+585816x4z2+1171632x2y2z2+585816y4z2-41620992x2z4-41620992y2z4+550731776z6

去齐次化(让 $z=1$ 代入)，并改写成数学公式形式就得到了：

$$F(x,y)=625x^6+1875x^4y^2+1875x^2y^4+625y^6-182250x^4y+364500x^2y^3-36450y^5+585816x^4+1171632x^2y^2+585816y^4-41620992x^2-41620992y^2+550731776$$

用Mathematica画出来:

ContourPlot[625x^6+1875x^4y^2+1875x^2y^4+625y^6-182250x^4y+364500x^2y^3-36450y^5+585816x^4+1171632x^2y^2+585816y^4-41620992x^2-41620992y^2+550731776==0,{x,-15,15},{y,-15,15}]

这就验证了计算结果是正确。