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做完此题之后 自己应该算是真正理解了斜率优化DP
根据状态转移方程f[i]=max(f[j]+ax^2+bx+c),x=sum[i]-sum[j]
可以变形为 f[i]=max((a*sum[j]^2-b*sum[j])-(2a*sum[j]*sum[i]))+(a*sum[i]^2+b*sum[i]+c)
我们可以把每个决策映射到平面上的一个点
其中x坐标为(a*sum[j]^2-b*sum[j])代表此决策的固定价值(与转移到哪无关)
y坐标为-(2a*sum[j]) 代表此决策的潜在价值(与转移到哪有关)
这样我们就可以开始用单调队列维护一个x递增 y递减的凸壳
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对于每次加入进来的一个新元素
我们先对队首的两个决策进行判断 若某决策现有价值不如后面的决策则将其删去
(因为维护的单调队列中的决策潜在价值是递增的)
然后更新新加的元素的最大值
再对新加元素与队尾的两个决策间进行判断
如果队尾第一个的决策在新加决策和前面所有决策所构成凸壳之内
那么这个决策永远不可能同时优于前一个决策和新加决策 所以就直接删掉就好了
最后将新加的决策加入单调队列
#include <cstdio> #include <cstring> #include <cmath> #include <algorithm> #define rep(i,n) for(int i=1;i<=n;++i) #define imax(x,y) (x>y?x:y) #define imin(x,y) (x<y?x:y) using namespace std; const int N=1000010; int sum[N],q[N]; long long f[N]; int n; long long a,b,c; long long solve(int x,int y) { return f[x]+a*(sum[y]-sum[x])*(sum[y]-sum[x])+b*(sum[y]-sum[x])+c; } long long solvex(int x) { return f[x]+a*sum[x]*sum[x]-b*sum[x]; } bool judge(int x,int y,int z) { long long tx=solvex(x),ty=solvex(y),tz=solvex(z); return (ty-tx)*(sum[z]-sum[x])<=(tz-tx)*(sum[y]-sum[x]);//约掉了-2a } int main() { scanf("%d",&n); scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c); rep(i,n) { scanf("%d",&sum[i]); sum[i]+=sum[i-1]; } int ifront=1,itail=1; q[1]=0; rep(i,n) { while(ifront<itail&&solve(q[ifront],i)<=solve(q[ifront+1],i)) ++ifront; f[i]=solve(q[ifront],i); while(ifront<itail&&judge(q[itail-1],q[itail],i)) --itail; q[++itail]=i; } printf("%lld",f[n]); return 0; }
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原文地址：http://www.cnblogs.com/sagitta/p/4626683.html
