把有界超空间中所有点输出的高效算法

今天遇到一个网友问我如果只有一些线性约束，我如果想把所有的可行解都输出出来怎么办？作为一个算法爱好者和史上最懒的程序员，感觉必须要找一个最好的算法出来。不负众望，想到一个挺好的算法，就与大家分享一下。
例如下面的小例子：
一个约束条件为
$|a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+...+a_nx_n-b|<e$
$0=<x_1<=M_1$
$0=<x_2<=M_2$
…
$0=<x_n<=M_n$

最简单的方法肯定是把所有的点根据超矩形约束条件遍历一遍，然后把与到超平面距离满足约数的点输出。
我写了个小例子，如下，循环把所有的可行解个数输出。

__author__ = ‘zhengyi‘
def mainfunc(m,x):
    result=0
    if len(m)>0:
        k=m[0]
        for i in range(0,k+1):
            t=x.copy()
            t.append(i)
            result+=mainfunc(m[1::],t)
        return result
    else:
        if distance(a,b,x)<e:
            return 1
        else:
            return 0

def distance(a,b,x):
    result=map(lambda x,y:x*y,a,x)
    return abs(sum(result)+b)

k=5
a=[i for i in range(k)]
b=-4
m=[i for i in range(k)]
e=3
x=[]
print(mainfunc(m,x))

逐渐增加k的值，当增加k到9以上的时候，会发现运行时间会特别的慢。这个也很好理解，k每增加1就要多1次循环。因此，计算时间复杂度是theta(k!)。

考虑到即使你知道每个解本身就是可行解，把所有的解输出也需要循环k次，所以如果想要减少时间复杂度，只有增加循环退出条件，减少在无用解上的计算次数。那么就会想，我怎么着能够让我的循环一直在可行域内循环，这样不就好了吗？这样一个多余的计算都没有，搜索的解都是需要的解。一个可行的办法就是使用A*算法。

这个动画演示的是一般的A*算法，因为有目标函数的存在，所以并不是搜索所有的可行域。我们要借鉴的是A * 的搜索方式，而对于他的目标函数，对我们没啥用处，直接忽略。

具体思路就是首先利用单纯行法随便加一个目标函数，寻找到一个初始解，然后把初始解作为输如，利用A*算法去各个方向遍历可行域。如果这个方向越界，则这个方向停止搜索。如果不越界就继续搜索。
具体实现的话，网上搜索A*算法的代码，保留搜索部分，删除目标函数部分即可。

如果只需要确定解所在的凸集的话，也可以利用单纯形法设置目标函数把所有凸集的顶点找到。