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一元线性回归模型与最小二乘法及其C++实现

时间:2015-07-12 00:03:50      阅读:170      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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原文:http://blog.csdn.net/qll125596718/article/details/8248249   

监督学习中,如果预测的变量是离散的,我们称其为分类(如决策树,支持向量机等),如果预测的变量是连续的,我们称其为回归。回归分析中,如果只包括一个自变量和一个因变量,且二者的关系可用一条直线近似表示,这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量,且因变量和自变量之间是线性关系,则称为多元线性回归分析。对于二维空间线性是一条直线;对于三维空间线性是一个平面,对于多维空间线性是一个超平面...这里,谈一谈最简单的一元线性回归模型。

1.一元线性回归模型

模型如下:

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总体回归函数中Y与X的关系可是线性的,也可是非线性的。对线性回归模型的“线性”有两种解释:

      (1)就变量而言是线性的,Y的条件均值是 X的线性函数

     (2)就参数而言是线性的,Y的条件均值是参数技术分享的线性函数

线性回归模型主要指就参数而言是“线性”,因为只要对参数而言是线性的,都可以用类似的方法估计其参数。

2.参数估计——最小二乘法

        对于一元线性回归模型, 假设从总体中获取了n组观察值(X1,Y1),(X2,Y2), …,(Xn,Yn)。对于平面中的这n个点,可以使用无数条曲线来拟合。要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值。综合起来看,这条直线处于样本数据的中心位置最合理。 选择最佳拟合曲线的标准可以确定为:使总的拟合误差(即总残差)达到最小。有以下三个标准可以选择:

        (1)用“残差和最小”确定直线位置是一个途径。但很快发现计算“残差和”存在相互抵消的问题。
        (2)用“残差绝对值和最小”确定直线位置也是一个途径。但绝对值的计算比较麻烦。
        (3)最小二乘法的原则是以“残差平方和最小”确定直线位置。用最小二乘法除了计算比较方便外,得到的估计量还具有优良特性。这种方法对异常值非常敏感。

        最常用的是普通最小二乘法( Ordinary  Least Square,OLS):所选择的回归模型应该使所有观察值的残差平方和达到最小。(Q为残差平方和)

样本回归模型:

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残差平方和:

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则通过Q最小确定这条直线,即确定技术分享,以技术分享为变量,把它们看作是Q的函数,就变成了一个求极值的问题,可以通过求导数得到。求Q对两个待估参数的偏导数:

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解得:

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3.最小二乘法c++实现

 

[cpp] view plaincopy
 
    1. #include<iostream>  
    2. #include<fstream>  
    3. #include<vector>  
    4. using namespace std;  
    5.   
    6. class LeastSquare{  
    7.     double a, b;  
    8. public:  
    9.     LeastSquare(const vector<double>& x, const vector<double>& y)  
    10.     {  
    11.         double t1=0, t2=0, t3=0, t4=0;  
    12.         for(int i=0; i<x.size(); ++i)  
    13.         {  
    14.             t1 += x[i]*x[i];  
    15.             t2 += x[i];  
    16.             t3 += x[i]*y[i];  
    17.             t4 += y[i];  
    18.         }  
    19.         a = (t3*x.size() - t2*t4) / (t1*x.size() - t2*t2);  
    20.         //b = (t4 - a*t2) / x.size();  
    21.         b = (t1*t4 - t2*t3) / (t1*x.size() - t2*t2);  
    22.     }  
    23.   
    24.     double getY(const double x) const  
    25.     {  
    26.         return a*x + b;  
    27.     }  
    28.   
    29.     void print() const  
    30.     {  
    31.         cout<<"y = "<<a<<"x + "<<b<<"\n";  
    32.     }  
    33.   
    34. };  
    35.   
    36. int main(int argc, char *argv[])  
    37. {  
    38.     if(argc != 2)  
    39.     {  
    40.         cout<<"Usage: DataFile.txt"<<endl;  
    41.         return -1;  
    42.     }  
    43.     else  
    44.     {  
    45.         vector<double> x;  
    46.         ifstream in(argv[1]);  
    47.         for(double d; in>>d; )  
    48.             x.push_back(d);  
    49.         int sz = x.size();  
    50.         vector<double> y(x.begin()+sz/2, x.end());  
    51.         x.resize(sz/2);  
    52.         LeastSquare ls(x, y);  
    53.         ls.print();  
    54.           
    55.         cout<<"Input x:\n";  
    56.         double x0;  
    57.         while(cin>>x0)  
    58.         {  
    59.             cout<<"y = "<<ls.getY(x0)<<endl;  
    60.             cout<<"Input x:\n";  
    61.         }  
    62.     }  
    63. }  

一元线性回归模型与最小二乘法及其C++实现

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原文地址:http://www.cnblogs.com/zhizhan/p/4639512.html

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