拓扑排序

　　在图论中，由一个有向无环图的顶点组成的序列，当且仅当满足下列条件时，称为该图的一个拓扑排序（Topological sorting）。
　　1）每个顶点出现且只出现一次；
　　2）若A在序列中排在B的前面，则在图中不存在从B到A的路径。
也可以定义为：拓扑排序是对有向无环图的顶点的一种排序，它使得如果存在一条从顶点A到顶点B的路径，那么在排序中B出现在A的后面。

　　什么地方会用到拓扑排序呢？比如在存在着前后依赖关系的情况下，整个工程中，有些子工程(活动)必须在其它有关子工程完成之后才能开始，也就是说，一个子工程的开始是以它的所有前序子工程的结束为先决条件的，但有些子工程没有先决条件，可以安排在任何时间开始。
　　举个例子：学习《数据结构》课程就必须安排在学完它的两门先修课程《离散数学》和《算法语言》之后。学习《高等数学》课程则可以随时安排，因为它是基础课程，没有先修课。

　　拓扑排序是对于有向无环图而言的(DAG)，就是对于这个图所有的点(V1, V2, … Vn)找到一个点序列使得任意边(u, v)， u出现在v的前面。很容易证明，如果一个有向图中有环那么不存在拓扑排序。

　　1）从 DAG 图中选择一个 没有前驱（即入度为0）的顶点并输出。
　　2）从图中删除该顶点和所有以它为起点的有向边。
　　3）重复 1 和 2 直到当前的 DAG 图为空或当前图中不存在无前驱的顶点为止。后一种情况说明有向图中必然存在环。


……

复杂度分析：
§Initialize In-Degree array:
O(|E|)
§Find vertex with in-degree 0:
|V| vertices, each takes O(|V|) to search In-Degree array.
Total time = O(|V|^2)
§Reduce In-Degree of all vertices adjacent to a vertex:
O(|E|)
§Output and mark vertex:
O(|V|)

Total time = O(|V|^2 + |E|) Quadratic time!

Kahn算法：

Total time = O(|V| + |E|)

#include <iostream>
#include <list>
#include <queue>
#include <vector>
using namespace std;
class Graph{
    int V; //定点数
    list<int>* adj; //邻接表数组指针
public:
    Graph(int v);
    void AddEdge(int v, int w);
    int GetVecNum();
    list<int>* GetAdj();
};

Graph::Graph(int v):V(v){
    adj = new list<int>[v];
};
void Graph::AddEdge(int v, int w){
    adj[v].push_back(w);
}

int Graph::GetVecNum(){
    return V;
}

list<int>*  Graph::GetAdj(){
    return adj;
}

const int V = 6;
queue<int> zeroInDegreesQueue;
int inDegrees[V];
vector<int> resultVec;

void InitZeroIndegreeQueue(Graph& graph){
    list<int>* adj = graph.GetAdj();
    for(int i=0; i<graph.GetVecNum(); i++){
        for (list<int>::iterator it=adj[i].begin(); it != adj[i].end(); ++it)
            inDegrees[*it]++;
    }
    for(int i=0; i<graph.GetVecNum(); i++){
        if(inDegrees[i] == 0)
            zeroInDegreesQueue.push(i);
    }
}

void KahnTopologicalSort(Graph& graph){
    int item;
    int vecNum = 0;
    list<int>* adj = graph.GetAdj();

    while(!zeroInDegreesQueue.empty()){
        resultVec.push_back(item = zeroInDegreesQueue.front());
        zeroInDegreesQueue.pop();
        vecNum++;
        for (list<int>::iterator it=adj[item].begin(); it != adj[item].end(); ++it){
            if(--inDegrees[*it] == 0)
                zeroInDegreesQueue.push(*it);
        }
    }

    if(vecNum < graph.GetVecNum())
        cout<<"There is a cycle!\n";
}

void printResult(int i){
    cout << ‘ ‘ << i;
}

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
    Graph g(V);
    g.AddEdge(5, 2);
    g.AddEdge(5, 0);
    g.AddEdge(4, 0);
    g.AddEdge(4, 1);
    g.AddEdge(2, 3);
    g.AddEdge(3, 1);

    cout << "Following is a KahnTopological Sort of the given graph \n";

    InitZeroIndegreeQueue(g);
    KahnTopologicalSort(g);

    for_each(resultVec.begin(),resultVec.end(),printResult);


    return 0;
}

DFS:
　　深度优先方法，其实可看做逆向的方法，找到没有出度的点，通过递归逆推。
L ← Empty list that will contain the sorted nodes
S ← Set of all nodes with no outgoing edges
for each node n in S do
　 visit(n)
function visit(node n)
　 if n has not been visited yet then
　 mark n as visited
　 for each node m with an edge from m to n do
　 　visit(m)
　 add n to L

// A recursive function used by topologicalSort
void Graph::topologicalSortUtil(int v, bool visited[], stack<int> &Stack)
{
    // Mark the current node as visited.
    visited[v] = true;

    // Recur for all the vertices adjacent to this vertex
    list<int>::iterator i;
    for (i = adj[v].begin(); i != adj[v].end(); ++i)
        if (!visited[*i])
            topologicalSortUtil(*i, visited, Stack);

    // Push current vertex to stack which stores result
    Stack.push(v);
}

// The function to do Topological Sort. It uses recursive topologicalSortUtil()
void Graph::topologicalSort()
{
    stack<int> Stack;

    // Mark all the vertices as not visited
    bool *visited = new bool[V];
    for (int i = 0; i < V; i++)
        visited[i] = false;

    // Call the recursive helper function to store Topological Sort
    // starting from all vertices one by one
    for (int i = 0; i < V; i++)
      if (visited[i] == false)
        topologicalSortUtil(i, visited, Stack);

    // Print contents of stack
    while (Stack.empty() == false)
    {
        cout << Stack.top() << " ";
        Stack.pop();
    }
}

// Driver program to test above functions
int main()
{
    // Create a graph given in the above diagram
    Graph g(6);
    g.addEdge(5, 2);
    g.addEdge(5, 0);
    g.addEdge(4, 0);
    g.addEdge(4, 1);
    g.addEdge(2, 3);
    g.addEdge(3, 1);

    cout << "Following is a Topological Sort of the given graph \n";
    g.topologicalSort();

    return 0;
}

参考：
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%93%E6%92%B2%E6%8E%92%E5%BA%8F
http://www.ivy-end.com/archives/992