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Floyd-Warshall 算法-- 最短路径(适合节点密集的图)

时间:2015-07-12 14:18:29      阅读:211      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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 由于此算法时间复杂度为O(V3),大多数情况下不如迪杰斯特拉算法的技术分享,迪杰斯特拉算法适合于节点疏散的图。

 示例图如下:

 

 技术分享


Step 1 创建节点与边的最短路径结果表(直接可达关系),数值表示距离,INF表示不可达

 

1

2

3

4

1

0

8

INF

1

2

INF

0

1

INF

3

4

INF

0

INF

4

INF

2

9

0

Step2 找出所有经过1的路径,更新两点间的最短路径

经过1的路径即所有入度和出度路径的组合,总数为入度×出度:

 

 技术分享

经过1路径为:

第一条,3-1-2

目前MIN(3->2)为INF,而MIN(3->1->2)=4+8=12 因此MIN(3->2)为12由于2有更新,故要递归更新所有从3到2可达点的最短路径,而2可达点只有3,MIN(3->3)为0,因此不需要更新。

第二条,3-1-4

目前MIN(3->4)为INF,而MIN(3->1->4)=4+1=5,因此MIN(3->4)为5,由于4有更新,故要递归更新所有从3到4的所有可达点的最短路径,而4的可达点为3和2:

MIN(3->3)=0,MIN(3->2)=MIN(3->1->2)=12  > MIN(3->1->4->2)= 7,因此MIN(3->2)=7

找出所有经过1路径的结果为:

 

 

 

 

1

2

3

4

1

0

8

INF

1

2

INF

0

1

INF

3

4

7

0

5

4

INF

2

9

0

Step3 找出所有经过2的路径

 

技术分享

第1条,1->2->3

因为MIN(1->3)为INF,而MIN(1->2->3)为9,因此MIN(1->3)为9,因为3有更新,所以需要递归更新所有从1到3可达点的最短路径,因为3的可达点为1,而MIN(1->1)不需要更新,为0。现在看第二条路径:

第二条,4->2->3

因此MIN(4->3)为9,而MIN(4->2->3)为3,因此MIN(4->3)=3,因为3有更新,需要递归更新从4到3可达点的最短路径,因为3的可达点为1,而MIN(4->1)为INF,MIN(4->2->3->1)为7,因此MIN(4->1)为7。因为1有更新,继续递归,1的可达点为4和2,MIN(4->4)保持0;目前MIN(4->2)为2,而MIN(4->2->3->1->2)=2+1+4+8=15大于2,因此不需要更新。

找出所有经过2的路径后,结果为:

 

1

2

3

4

1

0

8

9

1

2

INF

0

1

INF

3

4

7

0

5

4

7

2

3

0

Step4 找出所有经过3的路径

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第1条,4->3->1

MIN(4->1)为7,而MIN(4->3->1)为13,因此不需要更新

第二条,2->3->1

因为MIN(2->1)为INF,而MIN(2->3->1)为5,因此需要更新MIN(2->1)为5。因为更新了1,因此需要更新所有从2到1可达点的路径,1的可达点为4和2,MIN(2->2)不需要更新;目前MIN(2->4)为INF,而MIN(2->3->1->4)为6,因此MIN(2->4)为6。因为更新了4,因此需要递归更新从2到4可达点的路径,4可达点为2和3,MIN(2->2)为0;MIN(2->3)为1小于MIN(2->3->1->4->3)=1+4+1+9=15,故也不需要更新。

所以经过这一步,结果表为:

 

 

 

 

1

2

3

4

1

0

8

9

1

2

5

0

1

6

3

4

7

0

5

4

7

2

3

0

最后,找出经过4的路径。

 

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第一条,1->4->2

MIN(1->2)为8,而MIN(1->4->2)为3,因此MIN(1->2)更新为3,由于更新了2,故需要更新所有从1到2可达点的最短路径,2的可达点为3,MIN(1->3)目前为9,而MIN(1->4->2->3)为4,因此MIN(1->3)更新为4,由于更新了3,故递归更新所有从1到3可达点的最短路径,3的可达点为1,而MIN(1->1)不需要更新保持为0。

第二条,1->4->3

MIN(1->3)为4,而MIN(1->4->3)为10,因此不需要更新。所以最终结果为:

 

1

2

3

4

1

0

3

4

1

2

5

0

1

6

3

4

7

0

5

4

7

2

3

0

 

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Floyd-Warshall 算法-- 最短路径(适合节点密集的图)

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原文地址:http://blog.csdn.net/lan_liang/article/details/46849629

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