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虽然掌握了 A* 算法的人认为它容易，但是对于初学者来说， A* 算法还是很复杂的。
我们假设某人要从 A 点移动到 B 点，但是这两点之间被一堵墙隔开。如图 1 ，绿色是 A ，红色是 B ，中间蓝色是墙。
图 1
你应该注意到了，我们把要搜寻的区域划分成了正方形的格子。这是寻路的第一步，简化搜索区域，就像我们这里做的一样。这个特殊的方法把我们的搜索区域简化为了 2 维数组。数组的每一项代表一个格子，它的状态就是可走 (walkalbe) 和不可走 (unwalkable) 。通过计算出从 A 到 B 需要走过哪些方格，就找到了路径。一旦路径找到了，人物便从一个方格的中心移动到另一个方格的中心，直至到达目的地。
方格的中心点我们成为“节点 (nodes) ”。如果你读过其他关于 A* 寻路算法的文章，你会发现人们常常都在讨论节点。为什么不直接描述为方格呢？因为我们有可能把搜索区域划为为其他多变形而不是正方形，例如可以是六边形，矩形，甚至可以是任意多变形。而节点可以放在任意多边形里面，可以放在多变形的中心，也可以放在多边形的边上。我们使用这个系统，因为它最简单。
一旦我们把搜寻区域简化为一组可以量化的节点后，就像上面做的一样，我们下一步要做的便是查找最短路径。在 A* 中，我们从起点开始，检查其相邻的方格，然后向四周扩展，直至找到目标。
我们这样开始我们的寻路旅途：
1. 从起点 A 开始，并把它就加入到一个由方格组成的 open list( 开放列表 ) 中。这个 open list 有点像是一个购物单。当然现在 open list 里只有一项，它就是起点 A ，后面会慢慢加入更多的项。 Open list 里的格子是路径可能会是沿途经过的，也有可能不经过。基本上 open list 是一个待检查的方格列表。
2. 查看与起点 A 相邻的方格 ( 忽略其中墙壁所占领的方格，河流所占领的方格及其他非法地形占领的方格 ) ，把其中可走的 (walkable) 或可到达的 (reachable) 方格也加入到 open list 中。把起点 A 设置为这些方格的父亲 (parent node 或 parent square) 。当我们在追踪路径时，这些父节点的内容是很重要的。稍后解释。
3. 把 A 从 open list 中移除，加入到 close list( 封闭列表 ) 中， close list 中的每个方格都是现在不需要再关注的。
如下图所示，深绿色的方格为起点，它的外框是亮蓝色，表示该方格被加入到了 close list 。与它相邻的黑色方格是需要被检查的，他们的外框是亮绿色。每个黑方格都有一个灰色的指针指向他们的父节点，这里是起点 A 。
图 2 。
下一步，我们需要从 open list 中选一个与起点 A 相邻的方格，按下面描述的一样或多或少的重复前面的步骤。但是到底选择哪个方格好呢？具有最小 F 值的那个。
计算出组成路径的方格的关键是下面这个等式：
F = G + H
这里，
G = 从起点 A 移动到指定方格的移动代价，沿着到达该方格而生成的路径。
H = 从指定的方格移动到终点 B 的估算成本。这个通常被称为试探法，有点让人混淆。为什么这么叫呢，因为这是个猜测。直到我们找到了路径我们才会知道真正的距离，因为途中有各种各样的东西 ( 比如墙壁，水等 ) 。本教程将教你一种计算 H 的方法，你也可以在网上找到其他方法。
我们的路径是这么产生的：反复遍历 open list ，选择 F 值最小的方格。这个过程稍后详细描述。我们还是先看看怎么去计算上面的等式。
如上所述， G 是从起点Ａ移动到指定方格的移动代价。在本例中，横向和纵向的移动代价为 10 ，对角线的移动代价为 14 。之所以使用这些数据，是因为实际的对角移动距离是 2 的平方根，或者是近似的 1.414 倍的横向或纵向移动代价。使用 10 和 14 就是为了简单起见。比例是对的，我们避免了开放和小数的计算。这并不是我们没有这个能力或是不喜欢数学。使用这些数字也可以使计算机更快。稍后你便会发现，如果不使用这些技巧，寻路算法将很慢。
既然我们是沿着到达指定方格的路径来计算 G 值，那么计算出该方格的 G 值的方法就是找出其父亲的 G 值，然后按父亲是直线方向还是斜线方向加上 10 或 14 。随着我们离开起点而得到更多的方格，这个方法会变得更加明朗。
有很多方法可以估算 H 值。这里我们使用 Manhattan 方法，计算从当前方格横向或纵向移动到达目标所经过的方格数，忽略对角移动，然后把总数乘以 10 。之所以叫做 Manhattan 方法，是因为这很像统计从一个地点到另一个地点所穿过的街区数，而你不能斜向穿过街区。重要的是，计算 H 是，要忽略路径中的障碍物。这是对剩余距离的估算值，而不是实际值，因此才称为试探法。
把 G 和 H 相加便得到 F 。我们第一步的结果如下图所示。每个方格都标上了 F ， G ， H 的值，就像起点右边的方格那样，左上角是 F ，左下角是 G ，右下角是 H 。
图 3
好，现在让我们看看其中的一些方格。在标有字母的方格， G = 10 。这是因为水平方向从起点到那里只有一个方格的距离。与起点直接相邻的上方，下方，左方的方格的 G 值都是 10 ，对角线的方格 G 值都是 14 。
H 值通过估算起点于终点 ( 红色方格 ) 的 Manhattan 距离得到，仅作横向和纵向移动，并且忽略沿途的墙壁。使用这种方式，起点右边的方格到终点有 3 个方格的距离，因此 H = 30 。这个方格上方的方格到终点有 4 个方格的距离 ( 注意只计算横向和纵向距离 ) ，因此 H = 40 。对于其他的方格，你可以用同样的方法知道 H 值是如何得来的。
每个方格的 F 值，再说一次，直接把 G 值和 H 值相加就可以了。
为了继续搜索，我们从 open list 中选择 F 值最小的 ( 方格 ) 节点，然后对所选择的方格作如下操作：
4. 把它从 open list 里取出，放到 close list 中。
5. 检查所有与它相邻的方格，忽略其中在 close list 中或是不可走 (unwalkable) 的方格 ( 比如墙，水，或是其他非法地形 ) ，如果方格不在 open lsit 中，则把它们加入到 open list 中。
把我们选定的方格设置为这些新加入的方格的父亲。
6. 如果某个相邻的方格已经在 open list 中，则检查这条路径是否更优，也就是说经由当前方格 ( 我们选中的方格 ) 到达那个方格是否具有更小的 G 值。如果没有，不做任何操作。
相反，如果 G 值更小，则把那个方格的父亲设为当前方格 ( 我们选中的方格 ) ，然后重新计算那个方格的 F 值和 G 值。如果你还是很混淆，请参考下图。
图 4
Ok ，让我们看看它是怎么工作的。在我们最初的 9 个方格中，还有 8 个在 open list 中，起点被放入了 close list 中。在这些方格中，起点右边的格子的 F 值 40 最小，因此我们选择这个方格作为下一个要处理的方格。它的外框用蓝线打亮。
首先，我们把它从 open list 移到 close list 中 ( 这就是为什么用蓝线打亮的原因了 ) 。然后我们检查与它相邻的方格。它右边的方格是墙壁，我们忽略。它左边的方格是起点，在 close list 中，我们也忽略。其他 4 个相邻的方格均在 open list 中，我们需要检查经由这个方格到达那里的路径是否更好，使用 G 值来判定。让我们看看上面的方格。它现在的 G 值为 14 。如果我们经由当前方格到达那里， G 值将会为 20( 其中 10 为到达当前方格的 G 值，此外还要加上从当前方格纵向移动到上面方格的 G 值 10) 。显然 20 比 14 大，因此这不是最优的路径。如果你看图你就会明白。直接从起点沿对角线移动到那个方格比先横向移动再纵向移动要好。
当把 4 个已经在 open list 中的相邻方格都检查后，没有发现经由当前方格的更好路径，因此我们不做任何改变。现在我们已经检查了当前方格的所有相邻的方格，并也对他们作了处理，是时候选择下一个待处理的方格了。
因此再次遍历我们的 open list ，现在它只有 7 个方格了，我们需要选择 F 值最小的那个。有趣的是，这次有两个方格的 F 值都 54 ，选哪个呢？没什么关系。从速度上考虑，选择最后加入 open list 的方格更快。这导致了在寻路过程中，当靠近目标时，优先使用新找到的方格的偏好。但是这并不重要。 ( 对相同数据的不同对待，导致两中版本的 A* 找到等长的不同路径 ) 。
我们选择起点右下方的方格，如下图所示。
图 5
这次，当我们检查相邻的方格时，我们发现它右边的方格是墙，忽略之。上面的也一样。
我们把墙下面的一格也忽略掉。为什么？因为如果不穿越墙角的话，你不能直接从当前方格移动到那个方格。你需要先往下走，然后再移动到那个方格，这样来绕过墙角。 ( 注意：穿越墙角的规则是可选的，依赖于你的节点是怎么放置的 )
这样还剩下 5 个相邻的方格。当前方格下面的 2 个方格还没有加入 open list ，所以把它们加入，同时把当前方格设为他们的父亲。在剩下的 3 个方格中，有 2 个已经在 close list 中 ( 一个是起点，一个是当前方格上面的方格，外框被加亮的 ) ，我们忽略它们。最后一个方格，也就是当前方格左边的方格，我们检查经由当前方格到达那里是否具有更小的 G 值。没有。因此我们准备从 open list 中选择下一个待处理的方格。
不断重复这个过程，直到把终点也加入到了 open list 中，此时如下图所示。
图 6
注意，在起点下面 2 格的方格的父亲已经与前面不同了。之前它的 G 值是 28 并且指向它右上方的方格。现在它的 G 值为 20 ，并且指向它正上方的方格。这在寻路过程中的某处发生，使用新路径时 G 值经过检查并且变得更低，因此父节点被重新设置， G 和 F 值被重新计算。尽管这一变化在本例中并不重要，但是在很多场合中，这种变化会导致寻路结果的巨大变化。
那么我们怎么样去确定实际路径呢？很简单，从终点开始，按着箭头向父节点移动，这样你就被带回到了起点，这就是你的路径。如下图所示。从起点 A 移动到终点 B 就是简单从路径上的一个方格的中心移动到另一个方格的中心，直至目标。就是这么简单！
图 7
Ok ，现在你已经看完了整个的介绍，现在我们把所有步骤放在一起：
1. 把起点加入 open list 。
2. 重复如下过程：
a. 遍历 open list ，查找 F 值最小的节点，把它作为当前要处理的节点。
b. 把这个节点移到 close list 。
c. 对当前方格的 8 个相邻方格的每一个方格？
◆ 如果它是不可抵达的或者它在 close list 中，忽略它。否则，做如下操作。
◆ 如果它不在 open list 中，把它加入 open list ，并且把当前方格设置为它的父亲，记录该方格的 F ， G 和 H 值。
◆ 如果它已经在 open list 中，检查这条路径 ( 即经由当前方格到达它那里 ) 是否更好，用 G 值作参考。更小的 G 值表示这是更好的路径。如果是这样，把它的父亲设置为当前方格，并重新计算它的 G 和 F 值。如果你的 open list 是按 F 值排序的话，改变后你可能需要重新排序。
d. 停止，当你
◆ 把终点加入到了 open list 中，此时路径已经找到了，或者
◆ 查找终点失败，并且 open list 是空的，此时没有路径。
3. 保存路径。从终点开始，每个方格沿着父节点移动直至起点，这就是你的路径。
(2011-03-07 11:14:32)
据 Drew 所知最短路经算法现在重要的应用有计算机网络路由算法，机器人探路，交通路线导航，人工智能，游戏设计等等。美国火星探测器核心的寻路算法就是采用的D*（D Star）算法。
最短路经计算分静态最短路计算和动态最短路计算。
静态路径最短路径算法是外界环境不变，计算最短路径。主要有Dijkstra算法，A*（A Star）算法。
动态路径最短路是外界环境不断发生变化，即不能计算预测的情况下计算最短路。如在游戏中敌人或障碍物不断移动的情况下。典型的有D*算法。
这是Drew程序实现的10000个节点的随机路网三条互不相交最短路
真实路网计算K条路径示例：节点5696到节点3006，三条最快速路，可以看出路径基本上走环线或主干路。黑线为第一条，兰线为第二条，红线为第三条。约束条件系数为1.2。共享部分路段。显示计算部分完全由Drew自己开发的程序完成。
参见 K条路算法测试程序
Dijkstra算法求最短路径：
Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。
Dijkstra一般的表述通常有两种方式，一种用永久和临时标号方式，一种是用OPEN, CLOSE表方式，Drew为了和下面要介绍的 A* 算法和 D* 算法表述一致，这里均采用OPEN,CLOSE表的方式。
大概过程：
创建两个表，OPEN, CLOSE。
OPEN表保存所有已生成而未考察的节点，CLOSED表中记录已访问过的节点。
1． 访问路网中里起始点最近且没有被检查过的点，把这个点放入OPEN组中等待检查。
2． 从OPEN表中找出距起始点最近的点，找出这个点的所有子节点，把这个点放到CLOSE表中。
3． 遍历考察这个点的子节点。求出这些子节点距起始点的距离值，放子节点到OPEN表中。
4． 重复2，3，步。直到OPEN表为空，或找到目标点。
这是在drew 程序中4000个节点的随机路网上Dijkstra算法搜索最短路的演示，黑色圆圈表示经过遍历计算过的点由图中可以看到Dijkstra算法从起始点开始向周围层层计算扩展，在计算大量节点后，到达目标点。所以速度慢效率低。
提高Dijkstra搜索速度的方法很多，据Drew所知，常用的有数据结构采用Binary heap的方法，和用Dijkstra从起始点和终点同时搜索的方法。
推荐网页：http://www.cs.ecnu.edu.cn/assist/js04/ZJS045/ZJS04505/zjs045050a.htm
简明扼要介绍Dijkstra算法，有图解显示和源码下载。
A*（A Star）算法：启发式（heuristic）算法
A*（A-Star)算法是一种静态路网中求解最短路最有效的方法。
公式表示为： f(n)=g(n)+h(n),
其中f(n) 是节点n从初始点到目标点的估价函数，
g(n) 是在状态空间中从初始节点到n节点的实际代价，
h(n)是从n到目标节点最佳路径的估计代价。保证找到最短路径（最优解的）条件，关键在于估价函数h(n)的选取：
估价值h(n)<= n到目标节点的距离实际值，这种情况下，搜索的点数多，搜索范围大，效率低。但能得到最优解。
如果 估价值>实际值, 搜索的点数少，搜索范围小，效率高，但不能保证得到最优解。
估价值与实际值越接近，估价函数取得就越好。
例如对于几何路网来说，可以取两节点间欧几理德距离（直线距离）做为估价值，即f=g(n)+sqrt((dx-nx)*(dx-nx)+(dy-ny)*(dy-ny))；这样估价函数f在g值一定的情况下，会或多或少的受估价值h的制约，节点距目标点近，h值小，f值相对就小，能保证最短路的搜索向终点的方向进行。明显优于Dijstra算法的毫无无方向的向四周搜索。
conditions of heuristic
Optimistic (must be less than or equal to the real cost)
As close to the real cost as possible
主要搜索过程：
创建两个表，OPEN表保存所有已生成而未考察的节点，CLOSED表中记录已访问过的节点。
遍历当前节点的各个节点，将n节点放入CLOSE中，取n节点的子节点X,->算X的估价值->
While(OPEN!=NULL)
{
从OPEN表中取估价值f最小的节点n;
if(n节点==目标节点) break;
else
{
if(X in OPEN) 比较两个X的估价值f //注意是同一个节点的两个不同路径的估价值
if( X的估价值小于OPEN表的估价值 )
更新OPEN表中的估价值; //取最小路径的估价值
if(X in CLOSE) 比较两个X的估价值 //注意是同一个节点的两个不同路径的估价值
if( X的估价值小于CLOSE表的估价值 )
更新CLOSE表中的估价值; 把X节点放入OPEN //取最小路径的估价值
if(X not in both)
求X的估价值;
并将X插入OPEN表中; //还没有排序
}
将n节点插入CLOSE表中;
按照估价值将OPEN表中的节点排序; //实际上是比较OPEN表内节点f的大小，从最小路径的节点向下进行。
}
上图是和上面Dijkstra算法使用同一个路网，相同的起点终点，用A*算法的情况，计算的点数从起始点逐渐向目标点方向扩展，计算的节点数量明显比Dijkstra少得多，效率很高，且能得到最优解。
A*算法和Dijistra算法的区别在于有无估价值，Dijistra算法相当于A*算法中估价值为0的情况。
推荐文章链接：
Amit 斯坦福大学一个博士的游戏网站，上面有关于A*算法介绍和不少有价值的链接 http://theory.stanford.edu/~amitp/GameProgramming/
Sunway写的两篇很好的介绍启发式和A*算法的中文文章并有A*源码下载：
初识A*算法 http://creativesoft.home.shangdu.net/AStart1.htm
深入A*算法 http://creativesoft.home.shangdu.net/AStart2.htm
需要注意的是Sunway上面文章“深入A*算法”中引用了一个A*的游戏程序进行讲解，并有这个源码的下载，不过它有一个不小的Bug, 就是新的子节点放入OPEN表中进行了排序，而当子节点在Open表和Closed表中时，重新计算估价值后，没有重新的对Open表中的节点排序，这个问题会导致计算有时得不到最优解，另外在路网权重悬殊很大时，搜索范围不但超过Dijkstra，甚至搜索全部路网, 使效率大大降低。
Drew 对这个问题进行了如下修正，当子节点在Open表和Closed表中时，重新计算估价值后，删除OPEN表中的老的节点，将有新估价值的节点插入OPEN表中，重新排序，经测试效果良好，修改的代码如下，红色部分为Drew添加的代码.添加进程序的相应部分即可。
在函数GenerateSucc（）中
...................................
g=BestNode->g+1;
TileNumS=TileNum((int)x,(int)y);
if ((Old=CheckOPEN(TileNumS)) != NULL)
{
for(c=0;c<8;c++)
if(BestNode->Child[c] == NULL)
break;
BestNode->Child[c]=Old;
if (g < Old->g)
{
Old->Parent=BestNode;
Old->g=g;
Old->f=g+Old->h;
//Drew 在该处添加如下红色代码
//Implement by Drew
NODE *q,*p=OPEN->NextNode, *temp=OPEN->NextNode;
while(p!=NULL && p->NodeNum != Old->NodeNum)
{
q=p;
p=p->NextNode;
}
if(p->NodeNum == Old->NodeNum)
{
if(p==OPEN->NextNode)
{
temp = temp->NextNode;
OPEN ->NextNode = temp;
}
else
q->NextNode = p->NextNode;
}
Insert(Old); // Insert Successor on OPEN list wrt f
}
......................................................
另一种A*（A Star）算法：
这种算法可以不直接用估价值，直接用Dijkstra算法程序实现A*算法，Drew对它进行了测试，达到和A*完全一样的计算效果，且非常简单。
以邻接矩阵为例，更改原来邻接矩阵i行j列元素Dij为 Dij+Djq-Diq; 起始点到目标点的方向i->j, 终点q. Dij为（i到j路段的权重或距离）
其中：Djq,Diq的作用相当于估价值 Djq=（j到q的直线距离）；Diq=（i到q的直线距离）
原理：i 到q方向符合Dij+Djq > Diq ，取Dij+Djq-Diq 小，如果是相反方向Dij+Djq-Diq会很大。因此达到向目标方向寻路的作用。
动态路网，最短路径算法 D*
A* 在静态路网中非常有效（very efficient for static worlds），但不适于在动态路网，环境如权重等不断变化的动态环境下。
D*是动态A*（D-Star,Dynamic A Star）卡内及梅隆机器人中心的Stentz在1994和1995年两篇文章提出，主要用于机器人探路。是火星探测器采用的寻路算法。Optimal and Efficient Path Planning for Partially-Known Environments
The Focussed D* Algorithm for Real-Time Replanning
主要方法（这些完全是Drew在读了上述资料和编制程序中的个人理解，不能保证完全正确，仅供参考）：
1.先用Dijstra算法从目标节点G向起始节点搜索。储存路网中目标点到各个节点的最短路和该位置到目标点的实际值h,k（k为所有变化h之中最小的值,当前为k=h。每个节点包含上一节点到目标点的最短路信息1(2),2(5),5(4)，4（7）。则1到4的最短路为1-2-5-4。
原OPEN和CLOSE中节点信息保存。
2.机器人沿最短路开始移动，在移动的下一节点没有变化时，无需计算，利用上一步Dijstra计算出的最短路信息从出发点向后追述即可，当在Y点探测到下一节点X状态发生改变，如堵塞。机器人首先调整自己在当前位置Y到目标点G的实际值h(Y)，h(Y)=X到Y的新权值c(X,Y)+X的原实际值h(X).X为下一节点(到目标点方向Y->X->G），Y是当前点。k值取h值变化前后的最小。
3.用A*或其它算法计算，这里假设用A*算法,遍历Y的子节点，点放入CLOSE,调整Y的子节点a的h值，h(a)=h(Y)+Y到子节点a的权重C(Y,a),比较a点是否存在于OPEN和CLOSE中，方法如下：
while()
{
从OPEN表中取k值最小的节点Y;
遍历Y的子节点a,计算a的h值 h(a)=h(Y)+Y到子节点a的权重C(Y,a)
{
if(a in OPEN) 比较两个a的h值
if( a的h值小于OPEN表a的h值 )
{
更新OPEN表中a的h值;k值取最小的h值
有未受影响的最短路经存在
break;
}
if(a in CLOSE) 比较两个a的h值 //注意是同一个节点的两个不同路径的估价值
if( a的h值小于CLOSE表的h值 )
{
更新CLOSE表中a的h值; k值取最小的h值;将a节点放入OPEN表
有未受影响的最短路经存在
break;
}
if(a not in both)
将a插入OPEN表中; //还没有排序
}
放Y到CLOSE表；
OPEN表比较k值大小进行排序；
}
机器人利用第一步Dijstra计算出的最短路信息从a点到目标点的最短路经进行。D*算法在动态环境中寻路非常有效，向目标点移动中，只检查最短路径上下一节点或临近节点的变化情况，如机器人寻路等情况。对于距离远的最短路径上发生的变化，则感觉不太适用。
上图是Drew在4000个节点的随机路网上做的分析演示，细黑线为第一次计算出的最短路，红点部分为路径上发生变化的堵塞点，当机器人位于982点时，检测到前面发生路段堵塞，在该点重新根据新的信息计算路径，可以看到圆圈点为重新计算遍历过的点，仅仅计算了很少得点就找到了最短路，说明计算非常有效，迅速。绿线为计算出的绕开堵塞部分的新的最短路径。
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