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堆排序实现

时间:2015-07-22 18:51:11      阅读:116      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:堆排序   heap   算法   

1、堆排序算法描述:

(1)定义

n个关键字序列Kl,K2,…,Kn称为(Heap),当且仅当该序列满足如下性质(简称为堆性质):
1)ki<=k(2i)且ki<=k(2i+1)(1≤i≤ n/2),当然,这是小根堆,大根堆则换成>=号。//k(i)相当于二叉树的非叶子结点,K(2i)则是左子节点,k(2i+1)是右子节点
2)若将此序列所存储的向量R[1..n]看做是一棵完全二叉树存储结构,则堆实质上是满足如下性质的完全二叉树:
树中任一非叶子结点的关键字均不大于(或不小于)其左右孩子(若存在)结点的关键字。
(2)用大根堆排序的基本思想

① 先将初始文件R[1..n]建成一个大根堆,此堆为初始的无序区
② 再将关键字最大的记录R[1](即堆顶)和无序区的最后一个记录R[n]交换,由此得到新的无序区R[1..n-1]和有序区R[n],且满足R[1..n-1].keys≤R[n].key
③由于交换后新的根R[1]可能违反堆性质,故应将当前无序区R[1..n-1]调整为堆。然后再次将R[1..n-1]中关键字最大的记录R[1]和该区间的最后一个记录R[n-1]交换,由此得到新的无序区R[1..n-2]和有序区R[n-1..n],且仍满足关系R[1..n-2].keys≤R[n-1..n].keys,同样要将R[1..n-2]调整为堆。
……
直到无序区只有一个元素为止。
(3)大根堆排序算法的基本操作:
①建堆,建堆是不断调整堆的过程,从len/2处开始调整,一直到第一个节点,此处len是堆中元素的个数。建堆的过程是线性的过程,从len/2到0处一直调用调整堆的过程,相当于o(h1)+o(h2)…+o(hlen/2) 其中h表示节点的深度,len/2表示节点的个数,这是一个求和的过程,结果是线性的O(n)。
②调整堆:调整堆在构建堆的过程中会用到,而且在堆排序过程中也会用到。利用的思想是比较节点i和它的孩子节点left(i),right(i),选出三者最大(或者最小)者,如果最大(小)值不是节点i而是它的一个孩子节点,那边交互节点i和该节点,然后再调用调整堆过程,这是一个递归的过程。调整堆的过程时间复杂度与堆的深度有关系,是lgn的操作,因为是沿着深度方向进行调整的。
③堆排序:堆排序是利用上面的两个过程来进行的。首先是根据元素构建堆。然后将堆的根节点取出(一般是与最后一个节点进行交换),将前面len-1个节点继续进行堆调整的过程,然后再将根节点取出,这样一直到所有节点都取出。堆排序过程的时间复杂度是O(nlgn)。因为建堆的时间复杂度是O(n)(调用一次);调整堆的时间复杂度是lgn,调用了n-1次,所以堆排序的时间复杂度是O(nlgn)。
2、堆的存储
一般用数组来表示堆,若根结点存在序号0处, i结点的父结点下标就为(i-1)/2。i结点的左右子结点下标分别为2*i+12*i+2
3、堆排序算法实现(最大堆)
#include <iostream>

void printArray(int theArray[], int n)
{
	for(int i = 0; i < n; i++)
	{
		std::cout << theArray[i] << " ";
	}
	std::cout << std::endl;
}

void adjustHeap(int theArray[], int n, int start)  //从start索引处结点开始调整 
{
	if(start < 0 || start >= n)
		return;
	int fatherIndex;
	int leftIndex;
	int rightIndex;
	int tmp;
	
	fatherIndex = start;
	leftIndex = 2 * fatherIndex + 1;        //start索引处结点的左孩子的索引 
	rightIndex = leftIndex + 1;             //start索引处结点的右孩子的索引 
	
	if(rightIndex < n)          //start索引处结点存在右孩子结点. 
	{
		if(theArray[fatherIndex] < theArray[rightIndex])     //右孩子结点大于start索引处结点 ,交换 
		{
			tmp = theArray[fatherIndex];
			theArray[fatherIndex] = theArray[rightIndex];
			theArray[rightIndex] = tmp; 
		}
	}
	if(leftIndex < n)       //start索引处结点存在左孩子结点,但不一定存在右孩子结点
	{
		if(theArray[fatherIndex] < theArray[leftIndex])     //右孩子结点大于左孩子结点树,交换 
		{
			tmp = theArray[fatherIndex];
			theArray[fatherIndex] = theArray[leftIndex];
			theArray[leftIndex] = tmp;
		}
	} 
	adjustHeap(theArray, n, start-1);         //再次递归调整start索引处的上一个结点 
}

void constructHeap(int theArray[], int n)
{
	int start = n / 2; 
	adjustHeap(theArray, n, start);                 //从length/2处开始调整 
}

void heapSort(int theArray[], int n)
{
	if(n == 1)                                    //当未排序序列中只剩一个元素时,直接跳出递归 
		return;
	int length = n;
	
	//printArray(theArray, length);              //打印出每次建立最大堆之后,数组排列情况 
	
	//将最大堆的堆顶元素与堆末尾元素交换,并取出该元素作为已排序数组元素 
	int tmp = theArray[0];                    
	theArray[0] = theArray[length-1];
	theArray[length-1] = tmp;
	 
	//再次调整交换后的堆,使得为满足最大堆 
	--length;                 //未排序序列长度减一 
	int start = length / 2;   
	adjustHeap(theArray, length, start);
	heapSort(theArray, length);             //递归进行堆排序 
}

int main(int argc, char *argv[]) {
	int myArray[] = {5,90,28,4,88,58,38,18,19,20};
	int length = sizeof(myArray) / sizeof(myArray[0]);
	constructHeap(myArray, length);
	heapSort(myArray, length);
	printArray(myArray, length);
	return 0;
}

4、堆的时间复杂度和空间复杂度
堆的最好、最坏以及平均时间复杂度是O(nlogn).
堆的空间复杂度是O(1).
感想:刚开始实现建立堆时,以为需要建立一个二叉树辅助帮助,其实这个所谓堆(即完全二叉树)只是逻辑结构,真实的物理结构还是那个顺序数组,在建立大堆或小堆的过程中,均是以顺序数组为基础,而逻辑上是操作一颗完全二叉树,故完全不需要建立一个辅助完全二叉树。

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堆排序实现

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原文地址:http://blog.csdn.net/vgxpm/article/details/47006065

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