Leetcode 240 Search a 2D Matrix II （二分法和分治法解决有序二维数组查找）

1.问题描述

　　写一个高效的算法，从一个$m\times n$的整数矩阵中查找出给定的值，矩阵具有如下特点：
　　

• 每一行从左到右递增。

• 每一列从上到下递增。

2. 方法与思路

2.1 二分查找法

　　根据矩阵的特征很容易想到二分法，但是这是一个二维的矩阵，如何将问题转化为一维是关键。实际上我们可以根据矩阵的第一列确定值可能所在的行的范围$(limu,limd)$，其中limu=0，使得$matrix[0][0] \le matrix[i][0] \le matrix[limd][0]$，$i \in [0,limd]$。而确定limd的值可以使用二分法。
　　确定了值可能在的行的范围后，逐行在进行二分查找目标值，这样就将问题降到一维上来了。代码如下：
　　

class Solution {
public:
    bool searchMatrix(vector<vector<int> >& matrix, int target) {
        if(matrix.size() == 0) return false;

        int i,j,mid,rows = matrix.size(),cols = matrix[0].size();

        int limd = rows-1,limu = 0;

        /*二分查找目标值可能所在行的下限*/
        while(limu < limd)
        {
            mid = (limu + limd)/2;
            if(matrix[mid][0] > target) limd = mid - 1;
            else if(matrix[mid][0] < target) limu = mid +1;
            else return true;
        }

        /*对每一行进行二分查找*/
        for(i = 0; i <= limd; i++)
        {
            int l = 0, r = cols-1;
            while(l <= r)
            {
                mid = (l + r)/2;    
                if(matrix[i][mid] < target) l = mid+1;
                else if(matrix[i][mid] > target) r = mid - 1;
                else return true;
            }
        }

        return false;
    }
};

2.2 分治法

　　还有一种方法就是采用分值的思想。以题目给出矩阵为例，查找数字5。仔细观察矩阵，最右上角的数字为15，由于矩阵是列递增，所以数字5不可能在最右侧15这一列，我们便可将这一列不予考虑，将范围缩减了一列。
　　
　　　　　　　　　　　　　[1, 　　4, 　　7, 　11]
　　　　　　　　　　　　　[2, 　　5, 　　8, 　12]
　　　　　　　　　　　　　[3, 　　6, 　　9, 　16]
　　　　　　　　　　　　　[10, 　13, 　14, 　17]
　　　　　　　　　　　　　[18, 　21, 　23, 　26]

　　再判断数字11，同样$11 > 5$，又缩减一列。数字７同样小于５，在缩减一列，那么现在的矩阵变为：
　　 　　　　　　　　　　　[1, 　　4,]
　　　　　　　　　　　　　[2, 　　5]
　　　　　　　　　　　　　[3, 　　6]
　　　　　　　　　　　　　[10, 　13]
　　　　　　　　　　　　　[18, 　21]
　　判断数字４时，由于$5 > 4$，目标值肯定不在4所在的行，去点这一行，在进行判断。
　　　　　　　　　　　　　[2, 　　5]
　　　　　　　　　　　　　[3, 　　6]
　　　　　　　　　　　　　[10, 　13]
　　　　　　　　　　　　　[18, 　21]
　Okay，判断数字5，找到目标值返回。
　
　这种算法时间复杂度$O(n)$,要优于第一种算法，代买如下：
　

class Solution {
public:
    bool searchMatrix(vector<vector<int> >& matrix, int target) {
        if(matrix.size() == 0) return false;

        int i,j,rows = matrix.size(),cols = matrix[0].size();

        i = 0; 
        j = cols-1; 
        while(i < rows && j >= 0)
        {
            if(matrix[i][j] == target) return true;
            else if(matrix[i][j] > target) j--;
            else i++;
        }
        return false;       
    }
};