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转自：http://blog.csdn.net/morewindows/article/details/6709644/
堆排序与快速排序，归并排序一样都是时间复杂度为O(N*logN)的几种常见排序方法。学习堆排序前，先讲解下什么是数据结构中的二叉堆。
二叉堆是完全二叉树或者是近似完全二叉树。
二叉堆满足二个特性：
1．父结点的键值总是大于或等于（小于或等于）任何一个子节点的键值。
2．每个结点的左子树和右子树都是一个二叉堆（都是最大堆或最小堆）。
当父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值时为最大堆。当父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值时为最小堆。下图展示一个最小堆：
由于其它几种堆（二项式堆，斐波纳契堆等）用的较少，一般将二叉堆就简称为堆。
一般都用数组来表示堆，i结点的父结点下标就为(i – 1) / 2。它的左右子结点下标分别为2 * i + 1和2 * i + 2。如第0个结点左右子结点下标分别为1和2。
下面先给出《数据结构C++语言描述》中最小堆的建立插入删除的图解，再给出本人的实现代码，最好是先看明白图后再去看代码。
每次插入都是将新数据放在数组最后。可以发现从这个新数据的父结点到根结点必然为一个有序的数列，现在的任务是将这个新数据插入到这个有序数据中——这就类似于直接插入排序中将一个数据并入到有序区间中，对照《白话经典算法系列之二 直接插入排序的三种实现》不难写出插入一个新数据时堆的调整代码：
1 // 新加入i结点 其父结点为(i - 1) / 2 2 void MinHeapFixup(int a[], int i) 3 { 4 int j, temp; 5 6 temp = a[i]; 7 j = (i - 1) / 2; //父结点 8 while (j >= 0 && i != 0) 9 { 10 if (a[j] <= temp) 11 break; 12 13 a[i] = a[j]; //把较大的子结点往下移动,替换它的子结点 14 i = j; 15 j = (i - 1) / 2; 16 } 17 a[i] = temp; 18 }
更简短的表达为：
1 void MinHeapFixup(int a[], int i) 2 { 3 for (int j = (i - 1) / 2; (j >= 0 && i != 0)&& a[i] > a[j]; i = j, j = (i - 1) / 2) 4 Swap(a[i], a[j]); 5 }
插入时：
1 //在最小堆中加入新的数据nNum 2 void MinHeapAddNumber(int a[], int n, int nNum) 3 { 4 a[n] = nNum; 5 MinHeapFixup(a, n); 6 }
按定义，堆中每次都只能删除第0个数据。为了便于重建堆，实际的操作是将最后一个数据的值赋给根结点，然后再从根结点开始进行一次从上向下的调整。调整时先在左右儿子结点中找最小的，如果父结点比这个最小的子结点还小说明不需要调整了，反之将父结点和它交换后再考虑后面的结点。相当于从根结点将一个数据的“下沉”过程。下面给出代码：
1 // 从i节点开始调整,n为节点总数 从0开始计算 i节点的子节点为 2*i+1, 2*i+2 2 void MinHeapFixdown(int a[], int i, int n) 3 { 4 int j, temp; 5 6 temp = a[i]; 7 j = 2 * i + 1; 8 while (j < n) 9 { 10 if (j + 1 < n && a[j + 1] < a[j]) //在左右孩子中找最小的 11 j++; 12 13 if (a[j] >= temp) 14 break; 15 16 a[i] = a[j]; //把较小的子结点往上移动,替换它的父结点 17 i = j; 18 j = 2 * i + 1; 19 } 20 a[i] = temp; 21 } 22 //在最小堆中删除数 23 void MinHeapDeleteNumber(int a[], int n) 24 { 25 Swap(a[0], a[n - 1]); 26 MinHeapFixdown(a, 0, n - 1); 27 }
有了堆的插入和删除后，再考虑下如何对一个数据进行堆化操作。要一个一个的从数组中取出数据来建立堆吧，不用！先看一个数组，如下图：
很明显，对叶子结点来说，可以认为它已经是一个合法的堆了即20，60， 65， 4， 49都分别是一个合法的堆。只要从A[4]=50开始向下调整就可以了。然后再取A[3]=30，A[2] = 17，A[1] = 12，A[0] = 9分别作一次向下调整操作就可以了。下图展示了这些步骤：
写出堆化数组的代码：
1 //建立最小堆 2 void MakeMinHeap(int a[], int n) 3 { 4 for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--) 5 MinHeapFixdown(a, i, n); 6 }
至此，堆的操作就全部完成了(注1)，再来看下如何用堆这种数据结构来进行排序。
首先可以看到堆建好之后堆中第0个数据是堆中最小的数据。取出这个数据再执行下堆的删除操作。这样堆中第0个数据又是堆中最小的数据，重复上述步骤直至堆中只有一个数据时就直接取出这个数据。
由于堆也是用数组模拟的，故堆化数组后，第一次将A[0]与A[n - 1]交换，再对A[0…n-2]重新恢复堆。第二次将A[0]与A[n – 2]交换，再对A[0…n - 3]重新恢复堆，重复这样的操作直到A[0]与A[1]交换。由于每次都是将最小的数据并入到后面的有序区间，故操作完成后整个数组就有序了。有点类似于直接选择排序。
1 void MinheapsortTodescendarray(int a[], int n) 2 { 3 for (int i = n - 1; i >= 1; i--) 4 { 5 Swap(a[i], a[0]); 6 MinHeapFixdown(a, 0, i); 7 } 8 }
注意使用最小堆排序后是递减数组，要得到递增数组，可以使用最大堆。
由于每次重新恢复堆的时间复杂度为O(logN)，共N - 1次重新恢复堆操作，再加上前面建立堆时N / 2次向下调整，每次调整时间复杂度也为O(logN)。二次操作时间相加还是O(N * logN)。故堆排序的时间复杂度为O(N * logN)。STL也实现了堆的相关函数，可以参阅《STL系列之四 heap 堆》。
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原文地址：http://www.cnblogs.com/zl1991/p/4689631.html
