拓扑排序

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相关定义和术语：

集合: 数据元素间的关系是同属一个集合。

线性结构：结点间的关系是线性关系，除开始结点和终端结点外，每个结点只有一个直接前趋和直接后继。

树形结构：结点间的关系实质上是层次关系，同层上的每个结点可以和下一层的零个或多个结点（即孩子）相关，但只能和上一层的一个结点（即双亲）相关（根结点除外）。

图（Graph）结构：对结点（图中常称为顶点）的前趋和后继个数不加限制的，即结点之间的关系是任意的。 图是一种较线性表和树更为复杂的非线性结构。是对结点的前趋和

后继个数不加限制的数据结构，用来描述元素之间“多对多”的关系。

1   图及其基本运算 

图的定义 ：

图是由一个顶点集 V 和一个弧集 R构成的数据结构。           

Graph = (V, R )

V = { x | x  某个数据对象} ， 是顶点的有穷非空集合；

 R——边的有限集合

 R = {(x, y) | x, y  V }  无向图      或

 R = {<x, y> | x, y  V && Path (x, y)}有向图是顶点之间关系的有穷集合，也叫做边(edge)集合。Path (x, y)表示从 x 到 y 的一条单向通路, 它是有方向的。x弧尾，y弧头。

有向图与无向图 ：

有向图中：边用<x, y>表示，且x与y是有序的。

a.   有向图中的边称为“弧”

b.   x——弧尾或初始点   y——弧头或终端点

无向图：边用(x, y) 表示，且顶x与 y是无序的。

完全图：

在具有n 个顶点的有向图中，最大弧数为 n(n-1) 

在具有n 个顶点的无向图中，最大边数为 n(n-1)/2

顶点的度：

无向图：与该顶点相关的边的数目

有向图：入度ID(v) ：以该顶点为头的弧的数目

出度OD(v) ：以该顶点为尾头的弧的数目

在有向图中, 顶点的度等于该顶点的入度与出度之和。

上图中，图(a)为无向图，其中G1的顶点集合和边集合分别为：V(G1)={1，2，3，4，5，6，7}，

E(G1)={(1，2)，(l，3)，(2，3)，(3，4)，(3，5)，(5，6)，(5，7)}。

 图(c)为有向图，其中G3的顶点集合和弧集合分别为

V(G3)={1，2，3，4，5，6}，

E(G3)={<1，2>，<1，3>，<1，4>，<3，1>，<4，5>，<5，6>，<6，4>} 

2  图的存储结构 

2.1 邻接矩阵

邻接矩阵(Adjacency Matrix)是表示顶点之间相邻关系的矩阵。设G＝(V，E)是具有n个顶点的图，则G的邻接矩阵是具有如下性质的n阶方阵。

无向图的邻接矩阵是以主对角线对称的，有向图的邻接矩阵可能是不对称的。 在有向图中： 第 i 行 1 的个数就是顶点 i 的出度，第 j 列 1 的个数就是顶点 j 的入度。 在无向图中, 第 i 行 (列) 1 的个数就是顶点i 的度。

无向图的邻接矩阵

有向图的邻接矩阵

无向图及其邻接矩阵 

有向图及其邻接矩阵 

2.2 邻接表 （图的链式存储结构）

在有向图的邻接表中，第 i 个链表中结点的个数是顶点Vi的出度。在有向图的逆邻接表中，第 i 个链表中结点的个数是顶点Vi 的入度。

3  拓扑排序 

通常我们把计划、施工过程、生产流程、程序流程等都当成一个工程，一个大的工程常常被划分成许多较小的子工程，这些子工程称为活动。这些活动完成时，整个工程也就完成了。 

例如，计算机专业学生的课程开设可看成是一个工程，每一门课程就是工程中的活动，下图给出了若干门所开设的课程，其中有些课程的开设有先后关系，有些则没有先后关系，有先后关系的课程必须按先后关系开设，如开设数据结构课程之前必

须先学完程序设计基础及离散数学，而开设离散数学则必须先并行学完高等数学、程序设计基础课程。

我们用一种有向图来表示课程开设，在这种有向图中，顶点表示活动，有向边表示活动的优先关系，这种有向图叫做顶点表示活动的网络(Actire On

 Vertices)简称为AOV网。

进行拓扑排序的方法：

输入AOV网络。令 n 为顶点个数。 在AOV网络中选一个没有直接 前驱的顶点,  并输出之; 从图中删去该顶点, 同时删去所有它发出的有向边;重复以上 、 步, 直到全部顶点均已输出，拓扑有序序列形成，拓扑排序完成；或

图中还有未输出的顶点，但已跳出处理循环。这说明图中还剩下一些顶点，它们都有直接前驱，再也找不到没有前驱的顶点了。这时AOV网络中必定存在有向环。

拓扑排序的过程：

最后得到的拓扑有序序列为 C4 , C0 , C3 , C2 , C1 , C5 。它满足图中给出的所有前驱和后继关系，对于本来没有这种关系的顶点，如C4和C2，也排出了先后次序关系。

在实现拓扑排序的算法中，采用邻接表作为有向图的存储结构，每个顶点设置一个单链表，每个单链表有一个表头结点，在表头结点中增加一个存放顶点入度的域count，这些表头结点构成一个数组，表头结点定义如下：

typedef struct             //表头结点
{ Vertex data;             //顶点信息
  int count;               //存放顶点入度
  ArcNode *firstarc;       //指向第一条弧
}Vnode;

在执行拓扑排序的过程中，当某个顶点的入度为零(没有前驱顶点)时，就将此顶点输出，同时将该顶点的所有后继顶点的入度减1，相当于删除所有以该顶点为尾的弧。为了避免重复检测顶点的入度是否为零，需要设立一个栈来存放入度为零的顶

点。执行拓扑排序的算法如下： 

void topsort(VNode adj[],int n)
{  int i,j;
   int stack[MAXV],top=0;    //栈stack的指针为top
   ArcNode *p;
   for(i=0;i<n;i++)
     if(adj[i].count==0)
     {  top++;    stack[top]=i;
     }
   while(top>0)  //栈不为空
   { i=stack[top];
       top--;                                 //顶点vi出栈
     printf(“％d”,i);                 //输出vi
     p=adj[i].firstarc;              //指向以vi为弧尾的第一条弧
while(p!=NULL)
   {   j=p->adjvex;                  //以vi为弧尾的弧的另一顶点vj
       adj[j].count--;                //顶点vj的入度减1
       if(adj[j].count==0)         //入度为0的相邻顶点入栈
        { top++;     stack[top]=j;
        }
       p=p->nextarc;               //指向以vi为弧尾的下一条弧
     }
   }
 } 

对于有n个顶点和e条边的有向图而言，for循环中建立入度为0的顶点栈时间为O(n）；若在拓扑排序过程中不出现有向环，则每个顶点出栈、入栈和入度减1的操作在while(top>0)循环语句中均执行e次，因此拓扑排序总的时间花费为O (n+e)。 

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原文地址：http://blog.csdn.net/u011479875/article/details/47284629