Andrew Ng Machine Learning - Week 3：Logistic Regression & Regularization

此文是斯坦福大学，机器学习界 superstar — Andrew Ng 所开设的 Coursera 课程：Machine Learning 的课程笔记。力求简洁，仅代表本人观点，不足之处希望大家探讨。
课程网址：https://www.coursera.org/learn/machine-learning/home/welcome

Week 1: Introduction 笔记：http://blog.csdn.net/ironyoung/article/details/46845233
Week 2：Linear Regression with Multiple Variables笔记：http://blog.csdn.net/ironyoung/article/details/47129523

Week 3：Logistic Regression & Regularization

1. Logistic Regression

   1. 对于分类问题而言，很容易想到利用线性回归方法，拟合之后的$h_{\theta}(x)>0.5$则为True，其余为False.
   2. 但是线性回归有一个问题，拟合出的值都是离散的，范围不确定。为了方便分析，我们希望将拟合出的值限制在0~1之间。因此，出现了逻辑回归。
   3. 逻辑回归的模型是一个非线性模型：sigmoid函数，又称逻辑回归函数。但它本质上又是一个线性回归模型，因为除去sigmoid映射函数关系，其他的步骤，算法都是线性回归的。
   4. sigmoid函数（或，逻辑回归函数）：$g(z)=1/(1+e ^{-z})$。其函数图像为：
      
      这个函数的特征非常明显
      
      • 函数值一直在0~1范围内；
      • 经过$(0, 0.5)$点。这个很容易作为区分0，1类的分界线。
   5. 逻辑回归中，对于原本线性回归中拟合而成的hypothesis函数，需要经过sigmoid函数的修饰：$h_{\theta}(x)=\theta^{T}x \Rrightarrow h_{\theta}(x)=g(\theta^{T}x)$
      此时，$h_{\theta}(x)$的含义发生了变化，$h_{\theta}(x)=P(y=1|x;\theta)$。成为
      
      • ”the probability that y=1, given x, parameterized by $\theta$”
      • 因此有，$P(y=0|x;\theta) + P(y=1|x;\theta) = 1$
   6. Decision Boundary。表示的是 hypothesis 函数确定之后，划分数据分类的界限，并不一定可以百分百区分数据集，只是函数的属性之一。下图蓝色曲线即为某个 Desicision Boundary。
      

2. Cost Function

   1. 回忆线性回归的 cost function，我们在其中插入 cost 函数的概念：$J({\theta _0},{\theta _1}) = \frac{1}{2m}\sum\limits_{i = 1}^m {{{({h_\theta }({x^{(i)}}) - {y^{(i)}})}^2}} \\ = \frac {1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m {cost({h_\theta(x^{(i)}) }, {y^{(i)}})} =\frac {1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m {cost({h_\theta(x) }, y)}$

   2. 完全照搬线性回归的 cost function 到逻辑回归中，因为sigmoid函数的非线性，会造成$J(\theta)$取值的不断震荡，导致其是一个非凸形函数（non-convex）。表示在“$J(\theta)—\theta$”二维图中如下：
      

   3. 我们需要构造一种新的 cost 函数。出发点为：
      
      • 当$y=1$时，若hypothesis函数拟合结果为0，即为“重大失误”，cost 趋于无穷大；
      • 当$y=0$时，若hypothesis函数拟合结果为1，即为“重大失误”，cost 趋于无穷大；

   4. 构造的新 cost 函数：
      

      $$cost({h_\theta(x) }, y)=\left\{ \begin{aligned} -log(h_{\theta}(x)) ,y=1 \ -log(1-h_{\theta}(x)) ,y=0 \end{aligned} \right.$$
      如果进一步合并，可以得到最终逻辑回归的cost函数。并且值得指出的是，代入这个cost函数通过梯度下降法得到的 $\theta$ 更新函数依然成立：

      $cost({h_\theta(x) }, y)= -ylog(h_{\theta}(x)) - (1-y)log(1-h_{\theta}(x))$
      ${\theta _j}: = {\theta _j} - \alpha \frac{1}{{m}}\sum\limits_{i = 1}^m [{{{({h_\theta }({x^{(i)}}) - {y^{(i)}})}}}x_j^{(i)}]$

3. 梯度下降法的优化

   1. 对于梯度下降法的优化有很多，但是都需要$J(\theta)$与$\frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_j}$的代码。
   2. 以此为基础的对于梯度下降法的优化（视频中都没有具体介绍，有兴趣的同学可以点击链接）有：
      
      • 共轭梯度法：https://en.wikipedia.org/wiki/Conjugate_gradient_method
      • BFGS：https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Broyden%E2%80%93Fletcher%E2%80%93Goldfarb%E2%80%93Shanno_algorithm&redirect=no
      • L-BFGS：https://en.wikipedia.org/wiki/Limited-memory_BFGS
   3. 这些优化方法的特点也很一致：
      
      • 不需要人为选择 $\alpha$，自适应性
      • 更复杂，更慢
   4. 这里提到了两个MATLAB的非线性优化函数：
      
      • optimset：创建或编辑一个最优化参数选项。具体调用在MATLAB中 help optimset 命令查看；
      • fminunc：最小值优化。具体调用在MATLAB中 help fminunc 命令查看；
   5. 个人建议：Ng在优化这一部分讲的过于简略，基本等于什么都没说……还是要根据这几个方法名称在使用时搜索更多。

4. one vs. all (one vs. rest)

   1. 如果需要进行多类的分类，需要一种精妙的修改，使得两类的分类问题得以适用于多类的分类。
      
      • 现已知有n类样本需要区分开（1，2，3，……）；
      • 以原1类为新1类，剩余的原2，3，……作为新2类。原本的多类问题变成了二类问题，$h_{\theta}^{(1)}(x)=P(y=1|x;\theta)$；
      • 以原2类为新1类，剩余的原1，3，……作为新2类。再分类，$h_{\theta}^{(2)}(x)=P(y=2|x;\theta)$；
      • ……$h_{\theta}^{(i)}(x)=P(y=i|x;\theta)$；
      • 对于任意一个 $x$ 而言，如何分辨是哪一类呢？于是，求出所有的$h_{\theta}^{(1)}(x)，h_{\theta}^{(2)}(x)，h_{\theta}^{(3)}(x)，……，h_{\theta}^{(n)}(x)$，值最大对应的$i$（表示$y=i$的概率最大）即为$x$的所属分类

5. Regularization（正则化）

   1. 拟合会产生三种情况：
      
      • underfitting（欠拟合）=high bias，大部分训练样本无法拟合
      • overfitting（过拟合）=high variance，为了拟合几乎每一个训练样本。导致拟合函数极为复杂，易产生波动，泛化（generalize）能力差，虽然训练样本几乎百分百拟合，但是测试样本很可能因为极大波动而极少拟合成功
      • just right，对于训练样本，拟合得不多不少刚刚好，并且泛化到测试样本拟合效果同样较好
   2. 欠拟合，比较好解决，创造并引入更多的特征即可。例如：对于$x,y$而言，可以引入$x^2,y^2,xy$等等新的特征
   3. 过拟合，则比较复杂。可用的方法有两个：
      
      • Reduce number of features，降维（PCA？）
      • Regularization，正则化。保持所有的特征数量不变，而去改变特征前的度量单位 $\theta_j$（若 $\theta_j$ 趋于0，则此特征可视为无影响）
   4. 解决过拟合的正则化方法，因此需要引入全新的优化目标到 cost function 中。原先的 cost function 只是希望适合拟合更为接近，现在还需要使得特征前的度量单位 $\theta_j$ 的最小。因此有：
      

      $J({\theta _0},{\theta _1}) = \frac{1}{2m}[\sum\limits_{i = 1}^m {{{({h_\theta }({x^{(i)}}) - {y^{(i)}})}^2}}+\lambda\sum\limits_{i = 1}^m{\theta_{j}^2}]$

   5. 正则化方法处理之后，$\frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_j}$发生对应变化，因此我们有：

      ${\theta _j}: = {\theta _j} - \alpha [(\frac{1}{{m}}\sum\limits_{i = 1}^m {{{({h_\theta }({x^{(i)}}) - {y^{(i)}})}}}x_j^{(i)})+\frac{\lambda}{{m}}\theta_{j}]\\:={\theta _j}(1 - \alpha \frac{\lambda}{{m}}) - \alpha \frac{1}{{m}}\sum\limits_{i = 1}^m {{{({h_\theta }({x^{(i)}}) - {y^{(i)}})}}}x_j^{(i)}$

   6. 若$\lambda$非常大（例如$10^{10}$），则正则化方法会导致结果 underfitting。这也很好理解，因为优化目标中有使得 $\lambda\sum\limits_{i = 1}^m{\theta_{j}^2}$ 尽可能小，这样会导致 $\theta$ 全部趋于 0。一般来说，$\alpha, \lambda, m > 0$，所以$(1 - \alpha \frac{\lambda}{{m}})<1$，常见使其取值0.99 左右

6. Regularization for Normal Equation

   • 课程视频中缺少证明，因此我们仅需掌握结论使用即可

   • 对于 Week 2 中的Normal Equation方法，原本需要求解的方程 $\theta = (x^{T}x)^{-1}x^{T}y$ 做一个小小的改动：

     $\theta = (x^{T}x + \lambda\begin{equation} \left( \begin{array}{cccccc} 0 & 0 & \dots & 0 \ 0 & 1 & \dots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \dots & 1\ \end{array} \right) \end{equation})^{-1}x^{T}y$

     若样本拥有n个特征，则$\begin{equation} \left( \begin{array}{cccccc} 0 & 0 & \dots & 0 \ 0 & 1 & \dots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \dots & 1\ \end{array} \right) \end{equation}$表示的是(n+1) * (n+1)维的对角矩阵，除了(0, 0)取值为 0，其余对角位置取 1。

   • non-invertibility：非不可逆性……好拗口，意思就是对于原本的$(x^{T}x)$矩阵可能会出现不可逆的情况。但是，对于正则化之后的矩阵 $(x^{T}x + \lambda\begin{equation} \left( \begin{array}{cccccc} 0 & 0 & \dots & 0 \ 0 & 1 & \dots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \dots & 1\ \end{array} \right) \end{equation})$ 一定是可逆的（未提供证明）。

编程作业答案：https://github.com/cnauroth/machine-learning-class