匈牙利算法
匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名，，它是部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。
【先介绍几个概念】
匹配：在图论中，一个「匹配」（matching）是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。例如，图3、图4 中红色的边就是图 2 的匹配。
我们定义匹配点、匹配边、未匹配点、非匹配边，它们的含义非常显然。例如图 3中 1、4、5、7为匹配点，其他顶点为未匹配点；1-5、4-7为匹配边，其他边为非匹配边
最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。图4 是一个最大匹配，它包含 4 条匹配边。
完备匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。图4 是一个完美匹配。显然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。但并非每个图都存在完备匹配。
举例来说：如下图所示，如果在某一对男孩和女孩之间存在相连的边，就意味着他们彼此喜欢。是否可能让所有男孩和女孩两两配对，使得每对儿都互相喜欢呢？图论中，这就是完备匹配问题。如果换一个说法：最多有多少互相喜欢的男孩/女孩可以配对儿？这就是最大匹配问题。
求解最大匹配问题的一个算法就是匈牙利算法，下面讲的概念都为这个算法服务。
1.未匹配点 ： 设Vi是图G的一个顶点，如果Vi 不与任意一条属于匹配M的边相关联，就称Vi 是一个未盖点
2.交错路 : 从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边这样的路径称为交错路
3.增广路 ： 从未匹配点出发，走交错路，如果路径终点还是一个未匹配点，这条路径称为增广路
如图5的一个增广路就如图6.
可以看出增广路的一大特性：增广路所走的边，未匹配边一定比匹配边多1， (如图6，黑色尖头比红色箭头多1.)
根据增广路的定义，这是必然的。
所以我们可以通过不断寻找增广路，然后将未匹配的边 与匹配的边互换，从而达到 “增广”的目的,也就是让匹配边加1 ，直到找不到增广路
所以匈牙利算法可以解决无权二分图的最大匹配问题。 想了解二分图，请移步这里二分图简介
【伪代码】
void hungary()//匈牙利算法
{
for i->1 to n
if (从i的对应项出有可增广路)
匹配数++;
输出 匹配数;
}
bool findpath(k)//寻找从k出发的对应项出的可增广路
{
while (从邻接表中列举k能关联到顶点j){
if (j不在增广路上){
把j加入增广路;
if (j是未匹配点 或者 从j的对应项出发有可增广路)
修改j的对应项为k;//也就是说边(k,j)匹配，j对应匹配到k上
则从k的对应项出有可增广路,返回true;
}
}
}
则从k的对应项出没有可增广路,返回false;
}
以上大部分源自学长讲课的PPT，觉得讲的好就整理了一下，希望更多的人能学习到。
这里给一个模板题 HDU 2063
题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2063
6 3 3 1 1 1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 0
3
注意：只有女生可以选择男生
【邻接链表储存图】
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int k,m,n;
const int maxn =550;
const int maxe =1050;
vector <int>G[maxn];
bool inpath[maxe];
int match[maxe];
bool findpath(int k){
for(int i=0;i<G[k].size();i++){
int j=G[k][i];
if(!inpath[j]){
inpath[j]=true;
if(match[j]==-1||findpath(match[j])){
match[j]=k;return true;
}
}
}
return false;
}
void hungary(){
int cnt=0;
for(int i=1;i<=m;i++){
memset(inpath,0,sizeof(inpath));
if(findpath(i)){
cnt++;
}
}
cout<<cnt<<endl;
}
void init(){
memset(inpath,false,sizeof(inpath));
memset(match,-1,sizeof(match));
for(int i=0;i<maxn;i++){
G[i].clear();
}
}
int main(){
while(scanf("%d",&k)!=EOF&&k){
scanf("%d%d",&m,&n);
init();
int a,b;
for(int i=0;i<k;i++){
scanf("%d%d",&a,&b);
G[a].push_back(b);
// G[b].push_back(a);
}
hungary();
}
return 0;
}【前向星储存图】
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int k,m,n;
const int maxn =550 ;
const int maxe =1050 ;
bool inpath[maxe];
int match[maxe];
int head[maxe];int edgeNum=0;
struct Edge{
int to,next;
}edge[maxe];
void addEdge(int a,int b){
edge[edgeNum].to=b;
edge[edgeNum].next=head[a];
head[a]=edgeNum++;
}
bool findpath(int k){
// inpath[k]=true; //inpath储存的是增广路，本题中标记的应该是男生，
for(int i=head[k];i!=-1;i=edge[i].next){
int j=edge[i].to;
if(!inpath[j]){
inpath[j]=true; //所以在这里标记
//如果没有匹配，直接匹配，
//如果匹配了，，看看她的匹配能否找到新的匹配
if(match[j]==-1||findpath(match[j])){
match[j]=k;return true;
}
}
}
return false;
}
void hungary(){
int cnt=0;
for(int i=1;i<=m;i++){
memset(inpath,0,sizeof(inpath));
//从每一个节点开始找增广路，增广路都要清空，
//但是match不要清空,
if(findpath(i)){
cnt++;
}
}
cout<<cnt<<endl;
}
void init(){
memset(inpath,false,sizeof(inpath));
memset(match,-1,sizeof(match));
memset(head,-1,sizeof(head));
edgeNum=0;
}
int main(){
while(scanf("%d",&k)!=EOF&&k){
scanf("%d%d",&m,&n);
init();
int a,b;
for(int i=0;i<k;i++){
scanf("%d%d",&a,&b);
addEdge(a,b);
}
hungary();
}
return 0;
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