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求无权图的最大匹配---匈牙利算法

时间:2015-08-14 17:05:02      阅读:194      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:图论   匈牙利算法   无权二分图   

匈牙利算法


匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出,因而得名,,它是部图匹配最常见的算法,该算法的核心就是寻找增广路径,它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。


【先介绍几个概念】

匹配:在图论中,一个「匹配」(matching)是一个边的集合,其中任意两条边都没有公共顶点。例如,图3、图4 中红色的边就是图 2 的匹配。

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我们定义匹配点、匹配边、未匹配点、非匹配边,它们的含义非常显然。例如图 31457为匹配点,其他顶点为未匹配点;1-54-7为匹配边,其他边为非匹配边


最大匹配:一个图所有匹配中,所含匹配边数最多的匹配,称为这个图的最大匹配。图4 是一个最大匹配,它包含 4 条匹配边。


完备匹配:如果一个图的某个匹配中,所有的顶点都是匹配点,那么它就是一个完美匹配。图4 是一个完美匹配。显然,完美匹配一定是最大匹配(完美匹配的任何一个点都已经匹配,添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突)。但并非每个图都存在完备匹配。


举例来说:如下图所示,如果在某一对男孩和女孩之间存在相连的边,就意味着他们彼此喜欢。是否可能让所有男孩和女孩两两配对,使得每对儿都互相喜欢呢?图论中,这就是完备匹配问题。如果换一个说法:最多有多少互相喜欢的男孩/女孩可以配对儿?这就是最大匹配问题


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求解最大匹配问题的一个算法就是匈牙利算法,下面讲的概念都为这个算法服务。

1.未匹配点 : 设Vi是图G的一个顶点,如果Vi 不与任意一条属于匹配M的边相关联,就称Vi 是一个未盖点

2.交错路 : 从一个未匹配点出发,依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边这样的路径称为交错路

3.增广路 : 从未匹配点出发,走交错路,如果路径终点还是一个未匹配点,这条路径称为增广路

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如图5的一个增广路就如图6.

可以看出增广路的一大特性增广路所走的边,未匹配边一定比匹配边多1, (如图6,黑色尖头比红色箭头多1.)

根据增广路的定义,这是必然的。

所以我们可以通过不断寻找增广路,然后将未匹配的边 与匹配的边互换,从而达到 “增广”的目的,也就是让匹配边加1 ,直到找不到增广路


所以匈牙利算法可以解决无权二分图的最大匹配问题。 想了解二分图,请移步这里二分图简介


【伪代码】


void hungary()//匈牙利算法
{
    for i->1 to n
        if (从i的对应项出有可增广路)
            匹配数++;
    输出 匹配数;
}
bool  findpath(k)//寻找从k出发的对应项出的可增广路
{
    while (从邻接表中列举k能关联到顶点j){
        if (j不在增广路上){
            把j加入增广路;
            if (j是未匹配点 或者 从j的对应项出发有可增广路)
                修改j的对应项为k;//也就是说边(k,j)匹配,j对应匹配到k上
                则从k的对应项出有可增广路,返回true;
            }
        }
    }
    则从k的对应项出没有可增广路,返回false;
}



以上大部分源自学长讲课的PPT,觉得讲的好就整理了一下,希望更多的人能学习到。


这里给一个模板题 HDU 2063


题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2063

过山车

Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 14226    Accepted Submission(s): 6278


Problem Description
RPG girls今天和大家一起去游乐场玩,终于可以坐上梦寐以求的过山车了。可是,过山车的每一排只有两个座位,而且还有条不成文的规矩,就是每个女生必须找个个男生做partner和她同坐。但是,每个女孩都有各自的想法,举个例子把,Rabbit只愿意和XHD或PQK做partner,Grass只愿意和linle或LL做partner,PrincessSnow愿意和水域浪子或伪酷儿做partner。考虑到经费问题,boss刘决定只让找到partner的人去坐过山车,其他的人,嘿嘿,就站在下面看着吧。聪明的Acmer,你可以帮忙算算最多有多少对组合可以坐上过山车吗?
 

Input
输入数据的第一行是三个整数K , M , N,分别表示可能的组合数目,女生的人数,男生的人数。0<K<=1000
1<=N 和M<=500.接下来的K行,每行有两个数,分别表示女生Ai愿意和男生Bj做partner。最后一个0结束输入。
 

Output
对于每组数据,输出一个整数,表示可以坐上过山车的最多组合数。
 

Sample Input
6 3 3 1 1 1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 0
 

Sample Output
3


注意:只有女生可以选择男生

【邻接链表储存图】

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int k,m,n;
const int maxn  =550;
const int maxe  =1050;
vector <int>G[maxn];
bool inpath[maxe];
int match[maxe];
bool findpath(int k){
    for(int i=0;i<G[k].size();i++){
        int j=G[k][i];
        if(!inpath[j]){
            inpath[j]=true;
            if(match[j]==-1||findpath(match[j])){
                match[j]=k;return true;
            }
        }
    }
    return false;
}
void hungary(){
    int cnt=0;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        memset(inpath,0,sizeof(inpath));
        if(findpath(i)){
            cnt++;
        }
    }
    cout<<cnt<<endl;
}
void init(){
    memset(inpath,false,sizeof(inpath));
    memset(match,-1,sizeof(match));
    for(int i=0;i<maxn;i++){
        G[i].clear();
    }
}
int main(){
    while(scanf("%d",&k)!=EOF&&k){
        scanf("%d%d",&m,&n);
        init();
        int a,b;
        for(int i=0;i<k;i++){
            scanf("%d%d",&a,&b);
            G[a].push_back(b);
            // G[b].push_back(a);
        }
        hungary();
    }
    return 0;
}


【前向星储存图】

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int k,m,n;
const int maxn  =550 ;
const int maxe  =1050 ;
bool inpath[maxe];
int match[maxe];
int head[maxe];int edgeNum=0;
struct Edge{
    int to,next;
}edge[maxe];
void addEdge(int a,int b){
    edge[edgeNum].to=b;
    edge[edgeNum].next=head[a];
    head[a]=edgeNum++;
}
bool findpath(int k){
    // inpath[k]=true; //inpath储存的是增广路,本题中标记的应该是男生,
    for(int i=head[k];i!=-1;i=edge[i].next){
        int j=edge[i].to;
        if(!inpath[j]){
            inpath[j]=true; //所以在这里标记
            //如果没有匹配,直接匹配, 
            //如果匹配了,,看看她的匹配能否找到新的匹配
            if(match[j]==-1||findpath(match[j])){
                match[j]=k;return true;
            }
        }
    }
    return false;
}
void hungary(){
    int cnt=0;
    for(int i=1;i<=m;i++){ 
        memset(inpath,0,sizeof(inpath));
        //从每一个节点开始找增广路,增广路都要清空,
        //但是match不要清空,
        if(findpath(i)){
            cnt++;
        }
    }
    cout<<cnt<<endl;
}
void init(){
    memset(inpath,false,sizeof(inpath));
    memset(match,-1,sizeof(match));
    memset(head,-1,sizeof(head));
    edgeNum=0;
}
int main(){
    while(scanf("%d",&k)!=EOF&&k){
        scanf("%d%d",&m,&n);
        init();
        int a,b;
        for(int i=0;i<k;i++){
            scanf("%d%d",&a,&b);
            addEdge(a,b);
        }
        hungary();
    }
    return 0;
}


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求无权图的最大匹配---匈牙利算法

标签:图论   匈牙利算法   无权二分图   

原文地址:http://blog.csdn.net/chaiwenjun000/article/details/47662245

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