使用线性同余法生成伪随机数/序列（C++实现）

最近朋友提出一个问题，自己编写函数生成随机数，一开始没有认真思考，后来想了一下，如果是学习过计算机密码学，应该很快就能设计出一些算法，这里使用了数论领域的相关知识——线性同余法简单实现了生成随机数算法。

以下是网上关于随机数生成的一类说法：

在计算机上可以用物理方法来产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生，这样产生的序列与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数或伪随机序列，只要方法和参数选择合适，所产生的伪随机数就能满足均匀性和独立性，与真正的随机数具有相近的性质。

以下是一个使用了线性同余的递推公式：
Xt = (X0 * 17 + 29) mod 500

线性同余中的线性，是指“线性”表示方程中 x 的次数是一次，mod 取余运算符则体现了“同余”这一数学概念。

式中，17 、29和500分别称做乘数、增量和模数。使用线性同余生成随机数的方法速度快，但对乘数、增量和模数的选取有一定的要求：

1. 多次使用线性同余公式产生的序列应该看起来是随机的，不循环的；
2. 乘数/增量与模数互质；
3. 这个函数能够产生一个完整周期内的所有随机数。这一要求由模数控制。

#include <ctime>
#include <iostream>

class MyRand
{
public:
    unsigned int seed;

    // 默认使用系统时间为种子
    // time(NULL) 返回从1970年元旦午夜0点到现在的秒数
    void srand(unsigned int s = (unsigned int)time(NULL)) 
    {
        seed = s;
    }

    // 使用了一种线性同余法，得到的随机数最大为(2^15-1),29为质数中的一个
    unsigned int rand()
    {
        seed = (seed * 31 + 13) % ((1 << 15) - 1);   
        return seed;
    }
};

#include "rand.h"

int main()
{
    MyRand a;

    a.srand();  // 使用系统时间为种子

    std::cout << "产生若干个随机数：" << std::endl;
    for (int i = 0; i < 100; i++)
        std::cout << a.rand() % 100 << " ";  // 生成0~100之间的随机数

    getchar();
    return 0;
}

使用错误的公式，得到的序列并不随机：

得到符合要求的伪随机数序列：

在生成随机数的过程中，会强调生成的是“伪”随机数，这是因为平时编程中调用rand()函数（包括以上设计的函数）所产生的随机数都是按照一定的公式模拟产生的，其结果是确定而可预见的。庆幸的是，若给rand()函数（包括以上自己设计的函数）提供不同的初始值（成为随机种子seed），以真随机数为运算的初始条件，就可以得到真正意义上的随机数。

就牵扯到产生随机种子的方法。产生种子的方法有很多，在程序设计的课程中介绍得最多的是使用系统时间time为种子。代码中使用了time(NULL) 返回从1970年元旦午夜0点到现在的秒数作为随机序列运算的初始值，每一次调用rand()，可得到不同的随机序列。

事实上这种产生随机种子的方法有一定的缺陷性。假设在一台计算机上运行批量执行程序，程序执行的时间是几个ms，那么几个相邻程序的seed是一样的，每次调用随机数生成函数的结果也是一样的。这是因为系统时间time是按照秒级来计算的，而程序执行的时间是毫秒级，倘若在一秒内执行多次程序，必然导致产生的随机种子相同。

参考链接：http://blog.sina.com.cn/s/blog_66edd39d0100l96s.html